「直線」について
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私立 南山大学 2010年 第3問$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に四面体$\mathrm{OABC}$がある．$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標は，$\mathrm{A}(\sqrt{2},\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ \sqrt{3},\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 2)$である．また，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面上に点$\mathrm{P}$があり，実数$s,\ t$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=s \overrightarrow{\mathrm{AB}}+t \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を満たす．
(1)$\mathrm{P}$の座標を$s,\ t$で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AC}}$のとき，$s,\ t$を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(4)$(2)$のとき，直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{H}$とする．$|\overrightarrow{\mathrm{AH}}|$を求めよ．
(1)$\mathrm{P}$の座標を$s,\ t$で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AC}}$のとき，$s,\ t$を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(4)$(2)$のとき，直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{H}$とする．$|\overrightarrow{\mathrm{AH}}|$を求めよ．
私立 南山大学 2010年 第1問$[ ]$の中に答を入れよ．
(1)$2$次関数$y=(x+1)^2+[ア]$のグラフを$x$軸方向に$[イ]$，$y$軸方向に$-3$だけ平行移動すると，$2$次関数$y=x^2-6x+8$のグラフになる．
(2)$x^2-4x+1=0$の解のひとつを$\alpha$とするとき
\[ \alpha+\frac{1}{\alpha}=[ウ],\quad \alpha^2+\frac{1}{\alpha^2}=[エ] \]
である．
(3)放物線$C:y=-2x^2+10x-8$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S$は，直線$y=kx-k$（$k$は定数）で$2$等分される．このとき，$S=[オ]$であり，$k=[カ]$である．
(4)実数$x,\ t$に対して
\[ \log_2(x+2^t)=2t-3 \]
が成り立つとする．$t=4$のとき$x$の値は$[キ]$であり，$x=-2$のとき$t$の値は$[ク]$である．
(5)三角形$\mathrm{ABC}$において
\[ \sin^2 A+\sin^2 B=\sin^2 C \quad \text{かつ} \quad 5 \angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{B} \]
であるとき，$\angle \mathrm{A}=[ケ]^\circ$であり，分母を有理化すると$\tan^2 A=[コ]$である．
(1)$2$次関数$y=(x+1)^2+[ア]$のグラフを$x$軸方向に$[イ]$，$y$軸方向に$-3$だけ平行移動すると，$2$次関数$y=x^2-6x+8$のグラフになる．
(2)$x^2-4x+1=0$の解のひとつを$\alpha$とするとき
\[ \alpha+\frac{1}{\alpha}=[ウ],\quad \alpha^2+\frac{1}{\alpha^2}=[エ] \]
である．
(3)放物線$C:y=-2x^2+10x-8$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S$は，直線$y=kx-k$（$k$は定数）で$2$等分される．このとき，$S=[オ]$であり，$k=[カ]$である．
(4)実数$x,\ t$に対して
\[ \log_2(x+2^t)=2t-3 \]
が成り立つとする．$t=4$のとき$x$の値は$[キ]$であり，$x=-2$のとき$t$の値は$[ク]$である．
(5)三角形$\mathrm{ABC}$において
\[ \sin^2 A+\sin^2 B=\sin^2 C \quad \text{かつ} \quad 5 \angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{B} \]
であるとき，$\angle \mathrm{A}=[ケ]^\circ$であり，分母を有理化すると$\tan^2 A=[コ]$である．
私立 南山大学 2010年 第1問$[ ]$の中に答を入れよ．
(1)分数式$\displaystyle \frac{x^3+2x^2+4x-7}{x^2+2x-3}$を約分して既約分数にすると$[ア]$である．また，等式$ax(x-1)+b(x-1)(x-2)+c(x-3)=3x^2+2x+1$が$x$についての恒等式となるように$a,\ b,\ c$の値を定めると，$(a,\ b,\ c)=[イ]$である．
(2)$3^{30}$の桁数を求めると$[ウ]$である．また，$\displaystyle \left( \frac{1}{9} \right)^{40}$を小数で表すと小数第$n$位に初めて$0$でない数が現れ，$n=[エ]$である．ただし，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(3)$2$次関数$f(x)=ax^2+bx+c$は$x=1$で最小値$-1$をとる．$f(x)=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha^4+\beta^4$を$a$で表すと$\alpha^4+\beta^4=[オ]$である．また，$\alpha^4+\beta^4>6$を満たす$a$の値の範囲を求めると$[カ]$である．
(4)$a \geqq 0$とする．$2$点$\mathrm{A}(0,\ 0)$，$\mathrm{B}(a,\ 3)$からの距離の比が$2:1$である点$\mathrm{P}$の描く図形の方程式は$[キ]$である．また，この図形が直線$y=x+2$と$2$つの共有点$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$をもち，線分$\mathrm{CD}$の長さが$2 \sqrt{2}$であるとき，$a$の値を求めると$a=[ク]$である．
(1)分数式$\displaystyle \frac{x^3+2x^2+4x-7}{x^2+2x-3}$を約分して既約分数にすると$[ア]$である．また，等式$ax(x-1)+b(x-1)(x-2)+c(x-3)=3x^2+2x+1$が$x$についての恒等式となるように$a,\ b,\ c$の値を定めると，$(a,\ b,\ c)=[イ]$である．
(2)$3^{30}$の桁数を求めると$[ウ]$である．また，$\displaystyle \left( \frac{1}{9} \right)^{40}$を小数で表すと小数第$n$位に初めて$0$でない数が現れ，$n=[エ]$である．ただし，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(3)$2$次関数$f(x)=ax^2+bx+c$は$x=1$で最小値$-1$をとる．$f(x)=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha^4+\beta^4$を$a$で表すと$\alpha^4+\beta^4=[オ]$である．また，$\alpha^4+\beta^4>6$を満たす$a$の値の範囲を求めると$[カ]$である．
(4)$a \geqq 0$とする．$2$点$\mathrm{A}(0,\ 0)$，$\mathrm{B}(a,\ 3)$からの距離の比が$2:1$である点$\mathrm{P}$の描く図形の方程式は$[キ]$である．また，この図形が直線$y=x+2$と$2$つの共有点$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$をもち，線分$\mathrm{CD}$の長さが$2 \sqrt{2}$であるとき，$a$の値を求めると$a=[ク]$である．
私立 南山大学 2010年 第1問$[ ]$の中に答を入れよ．
(1)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，関数$y=\cos 2\theta-2 \sin \theta$の最大値とそのときの$\theta$の値を求めると$(y,\ \theta)=[ア]$であり，最小値とそのときの$\theta$の値を求めると$(y,\ \theta)=[イ]$である．
(2)実数$a,\ b$を係数とする方程式$x^3+ax^2+bx-4=0$の解の$1$つが$1-i$であるとき，残りの解のうち実数解を求めると$x=[ウ]$であり，$a,\ b$の値を求めると$(a,\ b)=[エ]$である．ただし，$i$は虚数単位である．
(3)$x$についての方程式$9^x-a \cdot 3^x+a^2-a=0$が$2$つの異なる実数解をもつとき，定数$a$のとりうる値の範囲は$[オ]$である．また，$x \geqq \sqrt{2}$，$y \geqq 1$，$x^2y=4$のとき，$(1+\log_2x)(\log_2y)$が最大値をとる$x,\ y$の値を求めると，$(x,\ y)=[カ]$である．
(4)座標平面上に中心が原点$\mathrm{O}$で半径が$3$の円$C$と，傾きが負で点$\mathrm{A}(5,\ 0)$を通る直線$\ell$を考える．$C$と$\ell$は$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$（$\mathrm{AP}<\mathrm{AQ}$）で交わるとする．$\angle \mathrm{POQ}$を$\theta$とするとき，$\triangle \mathrm{PQO}$の面積$S_1$を$\theta$を用いて表すと$S_1=[キ]$である．また，点$\mathrm{B}$の座標を$(-3,\ 0)$とするとき，$\triangle \mathrm{PQB}$の面積$S_2$の最大値は$[ク]$である．
(1)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，関数$y=\cos 2\theta-2 \sin \theta$の最大値とそのときの$\theta$の値を求めると$(y,\ \theta)=[ア]$であり，最小値とそのときの$\theta$の値を求めると$(y,\ \theta)=[イ]$である．
(2)実数$a,\ b$を係数とする方程式$x^3+ax^2+bx-4=0$の解の$1$つが$1-i$であるとき，残りの解のうち実数解を求めると$x=[ウ]$であり，$a,\ b$の値を求めると$(a,\ b)=[エ]$である．ただし，$i$は虚数単位である．
(3)$x$についての方程式$9^x-a \cdot 3^x+a^2-a=0$が$2$つの異なる実数解をもつとき，定数$a$のとりうる値の範囲は$[オ]$である．また，$x \geqq \sqrt{2}$，$y \geqq 1$，$x^2y=4$のとき，$(1+\log_2x)(\log_2y)$が最大値をとる$x,\ y$の値を求めると，$(x,\ y)=[カ]$である．
(4)座標平面上に中心が原点$\mathrm{O}$で半径が$3$の円$C$と，傾きが負で点$\mathrm{A}(5,\ 0)$を通る直線$\ell$を考える．$C$と$\ell$は$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$（$\mathrm{AP}<\mathrm{AQ}$）で交わるとする．$\angle \mathrm{POQ}$を$\theta$とするとき，$\triangle \mathrm{PQO}$の面積$S_1$を$\theta$を用いて表すと$S_1=[キ]$である．また，点$\mathrm{B}$の座標を$(-3,\ 0)$とするとき，$\triangle \mathrm{PQB}$の面積$S_2$の最大値は$[ク]$である．
私立 西南学院大学 2010年 第5問曲線$C:y=x |x-1|$と，直線$\ell:y=kx$に関して，次の問に答えよ．ただし，$k$は実数の定数とする．
(1)曲線$C$の概形を描け．
(2)曲線$C$と直線$\ell$が$x>0$で$2$つの交点を持つような$k$の範囲を求めよ．
(3)$k$が$(2)$で求めた範囲を動くとき，$C$と$\ell$によって囲まれる図形全体の面積を最小にする$k$の値を求めよ．
(1)曲線$C$の概形を描け．
(2)曲線$C$と直線$\ell$が$x>0$で$2$つの交点を持つような$k$の範囲を求めよ．
(3)$k$が$(2)$で求めた範囲を動くとき，$C$と$\ell$によって囲まれる図形全体の面積を最小にする$k$の値を求めよ．
私立 学習院大学 2010年 第4問$a$を正の実数とし，関数$y=x^2+a$のグラフを$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}$において$C$に接線$\ell$をひき，$\ell$と$y=x^2$のグラフの交点を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{Q}$の$x$座標を$\alpha$，$\mathrm{R}$の$x$座標を$\beta$とするとき，$|\alpha-\beta|$は$\mathrm{P}$の取り方によらないことを証明せよ．
私立 学習院大学 2010年 第2問原点$\mathrm{O}$から出発して数直線上を動く点$\mathrm{P}$は，サイコロを投げて$1,\ 2,\ 3,\ 4$の目が出たら正の向きに$1$だけ進み，$5,\ 6$の目が出たら負の向きに$1$だけ進む．
(1)サイコロを$5$回投げる間に，$\mathrm{P}$が一度も数直線の正の側に出ない確率を求めよ．
(2)サイコロを$5$回投げたあとの$\mathrm{P}$の座標を$X$とする．$X$の期待値を求めよ．
(1)サイコロを$5$回投げる間に，$\mathrm{P}$が一度も数直線の正の側に出ない確率を求めよ．
(2)サイコロを$5$回投げたあとの$\mathrm{P}$の座標を$X$とする．$X$の期待値を求めよ．
私立 学習院大学 2010年 第4問$a$を正の実数とする．$y$軸上に点$\mathrm{P}(0,\ a)$があり，点$\mathrm{Q}$は放物線$C:y=x^2$上を動く．
(1)$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の距離の最小値を$a$で表せ．また，その最小値を与える点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)$a=5$の時，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の距離を最小にする点$\mathrm{Q}$は$2$つある．これらの点を$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{Q}_2$とする．$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{Q}_2$における$C$の接線をそれぞれ$\ell_1$，$\ell_2$とし，その交点を$\mathrm{R}$とする．$\ell_1$，$\ell_2$の方程式と$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(1)$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の距離の最小値を$a$で表せ．また，その最小値を与える点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)$a=5$の時，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の距離を最小にする点$\mathrm{Q}$は$2$つある．これらの点を$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{Q}_2$とする．$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{Q}_2$における$C$の接線をそれぞれ$\ell_1$，$\ell_2$とし，その交点を$\mathrm{R}$とする．$\ell_1$，$\ell_2$の方程式と$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
私立 学習院大学 2010年 第2問第一象限内にあって$2$つの曲線
\[ y=x^2-1,\quad x^2+y^2+2 \sqrt{3}y-1=0 \]
と$2$つの直線
\[ y=3,\quad x=0 \]
とで囲まれる図形を$D$とする．
(1)$D$の面積を求めよ．
(2)$D$を$y$軸に関して$1$回転して得られる回転体の体積を求めよ．
\[ y=x^2-1,\quad x^2+y^2+2 \sqrt{3}y-1=0 \]
と$2$つの直線
\[ y=3,\quad x=0 \]
とで囲まれる図形を$D$とする．
(1)$D$の面積を求めよ．
(2)$D$を$y$軸に関して$1$回転して得られる回転体の体積を求めよ．
私立 広島国際学院大学 2010年 第3問$2$点$(1,\ 2)$，$(3,\ -1)$を通る直線について，次の問いに答えなさい．
(1)この直線の傾きを求めなさい．
(2)この直線の方程式を求めなさい．
(3)この直線に垂直で，原点を通る直線の方程式を求めなさい．
(4)この直線に垂直に，$x$軸上で交わる直線の方程式を求めなさい．
(1)この直線の傾きを求めなさい．
(2)この直線の方程式を求めなさい．
(3)この直線に垂直で，原点を通る直線の方程式を求めなさい．
(4)この直線に垂直に，$x$軸上で交わる直線の方程式を求めなさい．