円$C:(x-6)^2+y^2=25$と直線$L:y=ax$（$a$は実数，$a>0$）について考える．$C$と$L$の$2$つの相異なる交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．$C$の中心と$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$でつくる三角形の面積が最大となる$a$を$A$とする．$\sqrt{47}A$の値を求めよ．

放物線$C:y=x^2-4x+6$と直線$L:y=x+2$について考える．直線$L$，放物線$C$，$C$の軸，$x$軸，$y$軸のすべてで囲まれる面積を$S$とする．$(6S-20)$の値を求めよ．

$2$つの放物線$C_1:y=-2x^2+10x,\ C_2:y=x^2-2x$について考える．$C_1$と$C_2$の相異なる$2$つの交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．直線$\mathrm{PQ}$に平行で$C_1$に接する直線を$L$とする．$L$と$C_1$と$C_2$で囲まれる面積を$S$としたとき，$\displaystyle \left( \frac{S}{32}+1 \right)^2$の値を求めよ．

$3$つの直線$y=x-1$，$y=-x+7$，$y=-2x+8$について，以下の問いに答えよ．

(1)この$3$つの直線で囲まれた三角形の面積を求めよ．
(2)(1)の三角形に内接する円の半径を求めよ．
(3)(2)の内接円の方程式を求めよ．

$3$つの直線$y=x-1$，$y=-x+7$，$y=-2x+8$について，以下の問いに答えよ．

(1)この$3$つの直線で囲まれた三角形の面積を求めよ．
(2)(1)の三角形に内接する円の半径を求めよ．
(3)(2)の内接円の方程式を求めよ．

原点を中心とし半径$1$の円を$C$とする．また，点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$を通り傾き$\displaystyle \frac{1}{2}$の直線を$\ell$とする．$C$と$\ell$の交点のうち，点$\mathrm{A}$でない方を$\mathrm{P}$とする．

(1)点$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．
(2)点$\mathrm{P}$を通り直線$\ell$と$45^\circ$の角度で交わる$2$本の直線の方程式を求めなさい．さらに，この$2$本の直線を図示しなさい．

$a$を正の実数とする．放物線$C:y=ax^2$上の点$\mathrm{P}(1,\ a)$における$C$の接線と$\mathrm{P}$で垂直に交わる直線を$\ell$とする．$x \geqq 0$の領域で，$y$軸，$C$および$\ell$で囲まれた部分の面積を$S_1$とし，$x$軸，$C$および$\ell$で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．

(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$S_1$を$a$で表せ．
(3)$S_1$が最小値をとるとき，$S_2$の値を求めよ．

$a>0$のとき，座標平面上に曲線$C:y=x^2-x$と点$\mathrm{A}(a,\ -3a^2-a)$を考える．$\mathrm{A}$を通る$2$つの$C$の接線を$\ell_1$，$\ell_2$とする．ただし，接点の$x$座標が小さい方を$\ell_1$とする．

(1)座標平面上に$C$のグラフをかき，$C$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S_1$を求めよ．
(2)$\ell_1,\ \ell_2$の方程式を求めよ．
(3)$C$と$\ell_1$および直線$x=a$で囲まれた部分の面積$S_2$を求めよ．
(4)$(1)$の$S_1$と$(3)$の$S_2$が等しくなるような$a$の値を求めよ．

放物線$C:y=x^2$と直線$\ell$があり，これらは$2$点$\mathrm{A}(\alpha,\ \alpha^2)$，$\mathrm{B}(\beta,\ \beta^2)$で交わっている．ただし，$\alpha<\beta$である．

(1)$\ell$の方程式を$\alpha,\ \beta$で表せ．
(2)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$それぞれで$C$に接する$2$本の直線が交わる点を$\mathrm{T}$とする．$\mathrm{T}$の座標を$\alpha,\ \beta$で表せ．
(3)$\ell$が定点$(-1,\ 0)$を通るとき，$(2)$の$\mathrm{T}$の軌跡を求めよ．

座標平面上に直線$\ell:y=mx-4m$と放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{4}x^2$がある．$m$は，$\ell$と$C$が異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わるような値をとるとする．また，線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{M}$とする．

(1)$\ell$は$m$の値にかかわりなく，ある定点を通る．この点の座標を求めよ．
(2)$m$のとりうる値の範囲を求めよ．
(3)$\mathrm{M}$の軌跡を求め，座標平面上にそれを図示せよ．