$xy$平面上に直線
\[ (5k+3)x-(3k+5)y-10k+10=0 \]
がある．ただし，$k$は実数とする．

(1)$k=1$と$k=2$のときの直線の方程式をそれぞれ求め，さらに，これら$2$直線の交点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(2)$k=0$のときの直線に垂直で，かつ点$\mathrm{A}$を通る直線$\ell_1$の方程式を求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}$を結ぶ線分$\mathrm{OA}$を$2:3$に内分する点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．また，点$\mathrm{B}$を通り，直線$\ell_1$に平行な直線$\ell_2$の方程式を求めよ．

曲線$C:y=e^{ax} (a \neq 0)$について次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)$C$上の点$(t,\ e^{at})$における接線の方程式を求めよ．さらに，この接線が原点$\mathrm{O}$を通るとき，この接線を$\ell$と表す．接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$\ell$，曲線$C$および$y$軸で囲まれた図形$D$の面積が$1$となるような$a$の値を求めよ．
(3)図形$D$を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積が$\pi$となるような$a$の値を求めよ．

$xy$平面上に直線
\[ (5k+3)x-(3k+5)y-10k+10=0 \]
がある．ただし，$k$は実数とする．

(1)$k=1$と$k=2$のときの直線の方程式をそれぞれ求め，さらに，これら$2$直線の交点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(2)$k=0$のときの直線に垂直で，かつ点$\mathrm{A}$を通る直線$\ell_1$の方程式を求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}$を結ぶ線分$\mathrm{OA}$を$2:3$に内分する点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．また，点$\mathrm{B}$を通り，直線$\ell_1$に平行な直線$\ell_2$の方程式を求めよ．

曲線$C:y=e^{ax} (a \neq 0)$について次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)$C$上の点$(t,\ e^{at})$における接線の方程式を求めよ．さらに，この接線が原点$\mathrm{O}$を通るとき，この接線を$\ell$と表す．接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$\ell$，曲線$C$および$y$軸で囲まれた図形$D$の面積が$1$となるような$a$の値を求めよ．
(3)図形$D$を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積が$\pi$となるような$a$の値を求めよ．

$2$次関数$y=x^2+ax+b$と，この関数のグラフ$C$について，次の問いに答えよ．ただし，$a,\ b$は定数とする．

(1)$C$の頂点が$(2,\ -1)$のとき，$C$と$x$軸との交点の座標を求めよ．
(2)$C$の軸が直線$x=-1$で，$C$が点$(1,\ 1)$を通るとき，この関数の最小値を求めよ．
(3)$C$を$x$軸方向に$a$，$y$軸方向に$-a$平行移動すると，$2$点$(0,\ 0)$，$(2,\ -6)$を通る放物線になるとき，$a,\ b$の値を求めよ．
(4)この関数の$-1 \leqq x \leqq 2$における最小値が$0$，最大値が$8$であるとき，$a,\ b$の値を求めよ．

$1$辺の長さが$1$（メートル）の正三角形の紙がある．この三角形の$3$頂点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とする．辺$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{P}$と辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{Q}$を次のようにとる．

点$\mathrm{Q}$を通るある直線を折り目としてこの紙を折り曲げるときに点$\mathrm{A}$は点$\mathrm{P}$に重なる．

ここで，$\mathrm{BP}=x$（メートル），$\mathrm{PQ}=y$（メートル）とおくとき，
\[ x^2-([テ]-y)x+[ト]-[ナ]y=0 \]
が成り立つ．これを$x$についての方程式とみると，$0 \leqq x \leqq 1$であるから
\[ [ニ]+[ヌ] \sqrt{[ネ]} \leqq y \leqq 1 \]
となる．したがって，$\mathrm{AQ}$が最小となるのは，$y=[ニ]+[ヌ] \sqrt{[ネ]}$のときであり，このとき，$\angle \mathrm{BAP}=[ノ]^\circ$である．ただし，$[ネ]$はできる限り小さい自然数で答えること．

$y=|x(x-2)|$で与えられる曲線について以下の問いに答えよ．

(1)この曲線のグラフを描け．
(2)この曲線と直線$y=mx$の共有点の個数を$m$の値で分類せよ．
(3)$(2)$の共有点が$3$個のとき，この曲線と直線で囲まれる$2$つの図形のうち原点を含む側の図形の面積を$S_1$とし，もう一方の面積を$S_2$とする．このとき
\[ S_2-S_1=\frac{11}{6} \]
となるような$m$の値を求めよ．

$3$直線$x+y+4=0$，$5x+y+a=0$（$a$は実数），$3x-y+b=0$（$b$は実数）の異なる$3$つの交点によって作られる三角形の重心の座標が$(-1,\ 1)$であるとき，$(a+b)$の値を求めよ．

$2$直線$x+y-5=0$，$(\sqrt{3}-2)x-y-4 \sqrt{3}=0$のなす角を$\theta$とする（$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$）．$\displaystyle \frac{\pi}{\theta}$の値を求めよ．

直線$y-2x+m=0$（$m$は実数）と円$x^2+y^2+2x+6y+6=0$が相異なる$2$点で交わるためには，$m$のとりうる範囲は，$a<m<b$とならなければならない．$\displaystyle \frac{(b-a)^2}{16}$の値を求めよ．