$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$がある．辺$\mathrm{OA}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{BC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．また，線分$\mathrm{DE}$を$t:1-t \ (0<t<1)$に内分する点を$\mathrm{X}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$として，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OX}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$および$t$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{DE}$上にあり，$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \perp \overrightarrow{\mathrm{DE}}$をみたす．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)(2)で定まる点$\mathrm{P}$について，直線$\mathrm{OP}$と3点$\mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C}$の定める平面との交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．

座標平面上に点$\mathrm{B}_n(b_n,\ 0)$，$\displaystyle \mathrm{C}_n \left( \frac{b_n+b_{n+1}}{2},\ \frac{1}{2^{n-1}} \right) \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$がある．ただし，$b_n \leqq b_{n+1}$である．$2$点$\mathrm{B}_n$，$\mathrm{B}_{n+1}$間の距離を$\mathrm{B}_n \mathrm{B}_{n+1}$で表すとき，$\displaystyle \mathrm{B}_{n+1} \mathrm{B}_{n+2}=\frac{1}{2} \mathrm{B}_n \mathrm{B}_{n+1}$が成立している．$b_1=0,\ b_2=1$のとき，次の問いに答えよ．

(1)$d_n=\mathrm{B}_n \mathrm{B}_{n+1}$とおくとき，$d_n$を$n$を用いて表せ．
(2)$b_n$を$n$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{C}_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は同一直線上にあることを示せ．
(4)$\log_{10}2=0.3010$として，$b_n<1.99$をみたす最大の自然数$n$を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)次の定積分の値を計算せよ．
\[ \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{1}{1-x^2} \, dx \]
(2)$0<x<\pi$とする．関数$\displaystyle y=\frac{1}{\sin x}$の極値を調べグラフの概形をかけ．
(3)$\displaystyle y=\frac{1}{\sin x}$が表す曲線と3直線$\displaystyle y=\frac{1}{2},\ x=\frac{\pi}{3},\ x=\frac{\pi}{2}$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$xy$平面上に$2$点$\mathrm{P}(1,\ 2)$，$\mathrm{Q}(2,\ 1)$がある．次の方法により，$\mathrm{A}_n(x_n,\ 0)$，$\mathrm{B}_n(0,\ y_n) \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を定める．$\mathrm{A}_1$を$\mathrm{A}_1(6,\ 0)$とする．直線$\mathrm{A}_1 \mathrm{P}$と$y$軸との交点を$\mathrm{B}_1(0,\ y_1)$とし，直線$\mathrm{B}_1 \mathrm{Q}$と$x$軸との交点を$\mathrm{A}_2(x_2,\ 0)$とする．同様に直線$\mathrm{A}_2 \mathrm{P}$と$y$軸との交点を$\mathrm{B}_2(0,\ y_2)$とし，直線$\mathrm{B}_2 \mathrm{Q}$と$x$軸との交点を$\mathrm{A}_3(x_3,\ 0)$とする．以下，これを繰り返す．

(1)直線$\mathrm{A}_n \mathrm{P}$の方程式を$x_n$を用いて表せ．また，直線$\mathrm{B}_n \mathrm{Q}$の方程式を$y_n$を用いて表せ．
(2)$x_{n+1}$を$x_n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle z_n=\frac{1}{x_n}$とおくとき，$z_n$を求めることにより，$x_n$を$n$の式で表せ．

$y=f(x)=(x+2)e^{-x}$を曲線$A$，$y=ax+2a$を直線$B$とする（ただし，$a$は$a \neq 0$の実数）．以下の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の極値を求めよ．
(2)$f(x)$の増減表を示せ．ただし，$f(x)$の第$2$次導関数まで求め，変曲点も増減表に示せ．
(3)曲線$A$が直線$B$に接するとき，$a$の値を求めよ．
(4)曲線$A$と直線$B$が接するとき，曲線$A$と直線$B$および$y$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

$3$次関数$f(x)=x^3-3x+2$について，次の問に答えよ．

(1)$f(x)$の極値を求め，$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)曲線$y=|f(x)|$と直線$y=kx+6$とが異なる$4$点で交わるような実数$k$の値の範囲を求めよ．

座標平面上の$2$直線$\ell:x \sin \theta-y \cos \theta=0$（ただし$0^\circ \leqq \theta<180^\circ$），$\displaystyle m:y=\frac{1}{\sqrt{3}}x$を考える．$\ell$，$m$に関する対称移動をそれぞれ$f,\ g$とする．

(1)対称移動$f$を表す行列を求めよ．
(2)移動の合成$f \circ g$が原点のまわりの回転移動となることを示せ．また，その回転角を$\theta$を用いて表せ．
(3)移動の合成$f \circ g$を表す行列と$g \circ f$を表す行列が一致するときの$\theta$を求めよ．ただし，$f$と$g$は異なる移動とする．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上で曲線$C:y=x |x-k|$（ただし$k$は正の定数）と直線$\ell:y=mx$が原点以外に$2$点$\mathrm{P}(\alpha,\ m \alpha)$，$\mathrm{Q}(\beta,\ m \beta)$で交わっている．ただし$0<\alpha<\beta$とする．

(1)$m$の範囲を$k$で表せ．
(2)$C$と$\ell$で囲まれた$2$つの図形の面積の和$S$を$m$と$k$で表せ．
(3)$S$が最小となるときの$m$を$k$で表せ．
(4)$(3)$のとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{OQ}}{\mathrm{OP}}=\sqrt{2}$であることを示せ．

$\displaystyle x \geqq \frac{1}{2}$において，直線$\displaystyle y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$，曲線$\displaystyle y=4\left(x-\frac{1}{2}\right)^2$および$x$軸で囲まれる図形を$D$とする．ただし，$D$は境界をすべて含む．このとき，次の各問に答えよ．

(1)図形$D$の面積$S$を求めよ．
(2)直線$\ell:y=ax+b (a>0)$と図形$D$が共有点をもつとき，$a,\ b$のみたす不等式を求めよ．また，それらの不等式が表す領域を$a$-$b$平面上に図示せよ．
(3)図形$D$の面積$S$が，直線$y=4x+b$によって$2$等分されるような定数$b$の値を求めよ．

$xy$平面上の$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 4)$，$\mathrm{B}(2,\ 5)$を通り，直線$y=\displaystyle\frac{1}{2}x$と共有点をもつ円を考える．以下の問に答えよ．

(1)この円の中心$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．
(2)この円の半径$r$の最小値を求めよ．