曲線$C:y =(x-3)\sqrt{x} (x>0)$の法線を考える．ただし，曲線$C$上の点$\mathrm{P}$における法線とは，点$\mathrm{P}$を通り，この曲線上の点$\mathrm{P}$における接線に垂直に交わる直線のことである．このとき，以下の各問に答えよ．

(1)関数$y=(x-3)\sqrt{x} (x>0)$の増減，極値を調べて，そのグラフをかけ．
(2)曲線$C$上の点$(t,\ (t-3)\sqrt{t})$における法線の方程式を求めよ．
(3)$a$を正の定数とするとき，点$(a,\ 0)$を通る法線の本数を調べよ．

座標平面上に，点$(0,\ 1)$を中心とする半径$1$の円と点$\mathrm{P}(0,\ h) \ (0<h<2)$がある．点$\mathrm{P}$を通る直線$y=h$と円との交点で第$1$象限にあるものを$\mathrm{Q}$とする．曲線$C:y=\alpha x^2$は点$\mathrm{Q}$を通るとし，$y$軸と曲線$C$および線分$\mathrm{PQ}$で囲まれた部分を図形$\mathrm{A}$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\alpha$を$h$を用いて表せ．
(2)図形$\mathrm{A}$の面積$S$を$h$の式で表し，$S$の最大値を求めよ．
(3)図形$\mathrm{A}$を$y$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積$V$を$h$の式で表し，$V$の最大値を求めよ．
(4)$S,\ V$は，それぞれ(2)，(3)で求めたものとする．$\displaystyle X=\frac{V}{2\pi S}$とおくとき，$X$の最大値を求めよ．

$xy$平面上の放物線$C:y=x^2-3x$と，点P$(1,\ -6)$に対して，次の問いに答えよ．

(1)Pを通って放物線$C$に接する直線の方程式を求めよ．
(2)放物線$C$と(1)の直線との接点のうち$x$座標が負のものをQ，正のものをRとする．Sは直線QR上にありQと異なる点とする．Sの$x$座標を$t$とし，P，Q，Sの3点を通る円の方程式を$x^2+y^2+lx+my+n=0$とするとき，$l,\ m,\ n$をそれぞれ$t$の式で表せ．
(3)(2)の円の中心の軌跡を求めよ．さらに，(2)の円の半径が最小となる$t$の値を求めよ．

以下の各問に答えよ．

(1)平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{E}$，直線$\mathrm{AE}$と対角線$\mathrm{BD}$との交点を$\mathrm{F}$，直線$\mathrm{AE}$と直線$\mathrm{CD}$との交点を$\mathrm{G}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$を$\overrightarrow{a}$で，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を$\overrightarrow{b}$で表すとき，$3$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AE}},\ \overrightarrow{\mathrm{AF}},\ \overrightarrow{\mathrm{AG}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)関数$g(x)$を次式で定める．
\[ g(x)=\frac{1}{\pi}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \{ x \cos t+(1-x) \sin t \}^2 \, dt \]
このとき，$g(x)$の最小値を求めよ．

$p$を$0<p<1$を満たす有理数の定数とし，関数$f(x)$を$f(x)=|x|^p$と定める．以下の各問に答えよ．

(1)曲線$y=f(x)$の概形を描け．
(2)$a$を$0$でない実数の定数とするとき，点$(a,\ f(a))$における曲線$y=f(x)$の接線の方程式を求めよ．また，接線と$x$軸の交点の$x$座標を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$を次のように定める：$a_1=1$とし，$n \geqq 2$のとき$a_n$を点$(a_{n-1},\ f(a_{n-1}))$における曲線$y=f(x)$の接線と$x$軸との交点の$x$座標とする．このとき一般項$a_n$を$n$と$p$を用いて表せ．
(4)(3)で求めた数列$\{a_n\}$について，点$(a_n,\ f(a_n))$における曲線$y=f(x)$の接線と，$x$軸，および直線$x=a_n$とで囲まれた部分の面積を$T_n$とする．$T_n$を$n$と$p$を用いて表せ．
(5)(4)の$T_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$について，無限級数$T_1+T_2+T_3+\cdots$が収束する$p$の範囲を求めよ．また，収束するときの無限級数の値を求めよ．

平面上に，点O，Aを$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=1$であるようにとる．Oを中心にAを反時計回りに，$\displaystyle \frac{\pi}{6}$回転させた位置にある点をB，$\displaystyle \frac{\pi}{2}$回転させた位置にある点をCとする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と表す．次の問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{b}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\triangle$OABの面積と$\triangle$OBCの面積をそれぞれ求めよ．
(3)直線ACと直線OBとの交点をDとする．また，Bを通って直線ACに平行な直線と，直線OAとの交点をEとする．$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}},\ \overrightarrow{e}=\overrightarrow{\mathrm{OE}}$と表す．このとき，$|\overrightarrow{d}|$と$|\overrightarrow{e}|$をそれぞれ求めよ．
(4)次の式を満たす点Pの存在する領域の面積を求めよ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{e}+t\overrightarrow{c},\quad (0 \leqq s,\ 0 \leqq t,\ 1 \leqq s+t \leqq 2) \]

$a,\ b$を正の実数とする．放物線$C_1:y=x^2-a$と放物線$C_2:y=-b(x-2)^2$は，共に，点P$(x_0,\ y_0)$において直線$\ell$に接しているとする．$S_1$を直線$x=0$と放物線$C_1$と接線$\ell$で囲まれた領域の面積とし，$S_2$を直線$x=2$と放物線$C_2$と接線$\ell$で囲まれた領域の面積とするとき，次の各問に答えよ．

(1)$a,\ x_0,\ y_0$を$b$で表せ．
(2)面積の比$S_1:S_2$を$b$で表せ．

曲線$C:y=x^3+2ax^2+bx$と直線$\ell:y=ax$が$x \geqq 0$で定義されており，原点以外でこれらの曲線$C$と直線$\ell$が接するものとする．次の問いに答えなさい．なお，$a \neq 0$とする．

(1)曲線$C$と直線$\ell$との共有点が二つあることを示し，それらの共有点の座標を求めなさい．また，$a$のとりうる値の範囲を求めなさい．
(2)曲線$C$と直線$\ell$で囲まれる面積を$S_1$，これら二つの共有点と点$(0,\ -1)$からなる三角形の面積を$S_2$とする．$S_1=S_2$となる$a$の値を求めなさい．

座標平面上の放物線$y=(x+1)(x-3)$を$C$とする．$x$座標が$p,\ q$である$C$上の点P，Qにおける$C$の2つの接線が点A$(a,\ -7)$で交わり，2点P，Qを通る直線の傾きは2である．ただし，$p<q$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$a$の値と点Pと点Qの座標をそれぞれ求めよ．
(2)$C$および3つの直線$x=p,\ x=q,\ y=-7$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$2$つの関数$f(x)=x^3-6x^2+9x,\ g(x)=x^3-3x^2+3x-1$について，次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$および$g(x)$の増減を調べ，曲線$y=f(x)$および$y=g(x)$を図示せよ．
(2)$2$つの曲線$y=f(x),\ y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(3)(2)で面積を求めた図形と直線$y=4x+k$が共有点を持つとき，$k$の最小値を求めよ．