「直線」について
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国立 お茶の水女子大学 2010年 第2問$xy$平面上に2つの円
\begin{align}
& C_1:x^2+y^2=16 \nonumber \\
& C_2:(x-6)^2+y^2=1 \nonumber
\end{align}
がある．このとき以下の問いに答えよ．
(1)$C_1$と$C_2$の両方に接する接線の方程式をすべて求めよ．
(2)点Pを通る任意の直線が$C_1$または$C_2$の少なくとも一方と共有点を持つとする．このような点Pの存在する領域を図示せよ．
\begin{align}
& C_1:x^2+y^2=16 \nonumber \\
& C_2:(x-6)^2+y^2=1 \nonumber
\end{align}
がある．このとき以下の問いに答えよ．
(1)$C_1$と$C_2$の両方に接する接線の方程式をすべて求めよ．
(2)点Pを通る任意の直線が$C_1$または$C_2$の少なくとも一方と共有点を持つとする．このような点Pの存在する領域を図示せよ．
国立 お茶の水女子大学 2010年 第3問実数上の関数$f(x),\ g(x)$を次のように定義する．
\[ f(x)=\frac{a^x-a^{-x}}{2},\quad g(x)=\frac{a^x+a^{-x}}{2} \]
ここで，$a$は$a>1$をみたす実数である．
(1)関数$y=f(x)$のグラフと関数$y=g(x)$のグラフの概形を描け．
(2)この2つのグラフと2つの直線$x=0,\ x=3$とで囲まれる領域の面積を求めよ．
(3)(2)で求めた面積を$S(a)$とするとき，$2 \leqq a \leqq 5$での$S(a)$の最大値と最小値とを求めよ．
\[ f(x)=\frac{a^x-a^{-x}}{2},\quad g(x)=\frac{a^x+a^{-x}}{2} \]
ここで，$a$は$a>1$をみたす実数である．
(1)関数$y=f(x)$のグラフと関数$y=g(x)$のグラフの概形を描け．
(2)この2つのグラフと2つの直線$x=0,\ x=3$とで囲まれる領域の面積を求めよ．
(3)(2)で求めた面積を$S(a)$とするとき，$2 \leqq a \leqq 5$での$S(a)$の最大値と最小値とを求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2010年 第2問$xy$平面上に2つの円
\begin{align}
& C_1:x^2+y^2=16 \nonumber \\
& C_2:(x-6)^2+y^2=1 \nonumber
\end{align}
がある．このとき以下の問いに答えよ．
(1)$C_1$と$C_2$の両方に接する接線の方程式をすべて求めよ．
(2)点Pを通る任意の直線が$C_1$または$C_2$の少なくとも一方と共有点を持つとする．このような点Pの存在する領域を図示せよ．
\begin{align}
& C_1:x^2+y^2=16 \nonumber \\
& C_2:(x-6)^2+y^2=1 \nonumber
\end{align}
がある．このとき以下の問いに答えよ．
(1)$C_1$と$C_2$の両方に接する接線の方程式をすべて求めよ．
(2)点Pを通る任意の直線が$C_1$または$C_2$の少なくとも一方と共有点を持つとする．このような点Pの存在する領域を図示せよ．
国立 山形大学 2010年 第2問$xy$平面上に直線$\ell:y=x+2$と曲線$C:y=1-x^2$がある．直線$\ell$上を動く点Pから曲線$C$に異なる2本の接線を引き，接点をQ，Rとする．線分QRの中点をMとするとき，次の問いに答えよ．
(1)点Pの$x$座標を$t$とし，2点Q，Rの$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha+\beta=2t$および$\alpha\beta=-(t+1)$を示せ．
(2)点Mの軌跡は曲線$y=-2x^2-x$であることを示せ．
(3)点Mの軌跡と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)点Pの$x$座標を$t$とし，2点Q，Rの$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha+\beta=2t$および$\alpha\beta=-(t+1)$を示せ．
(2)点Mの軌跡は曲線$y=-2x^2-x$であることを示せ．
(3)点Mの軌跡と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 山形大学 2010年 第1問放物線$C:y=-x^2+1$と直線$\ell:y=a$がある．ただし，$0<a<1$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$C$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
(2)$C$と$\ell$で囲まれた部分の面積を$S$とする．このとき，$S$を$a$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle S = \frac{\sqrt{2}}{3}$のとき，$a$の値を求めよ．
(4)$y = |-x^2+1|$のグラフを描け．
(5)$\displaystyle S = \frac{\sqrt{2}}{3}$のとき，曲線$y=|-x^2+1|$と$\ell$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)$C$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
(2)$C$と$\ell$で囲まれた部分の面積を$S$とする．このとき，$S$を$a$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle S = \frac{\sqrt{2}}{3}$のとき，$a$の値を求めよ．
(4)$y = |-x^2+1|$のグラフを描け．
(5)$\displaystyle S = \frac{\sqrt{2}}{3}$のとき，曲線$y=|-x^2+1|$と$\ell$で囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 群馬大学 2010年 第2問原点のまわりの角$\alpha$の回転移動$f$を表す行列を$F$とおき，$0^\circ \leqq \beta <90^\circ$として，直線$y=(\tan \beta)x$に関する対称移動$g$を表す行列を$G$とおく．また，合成移動$g \circ f$を表す行列を$H$とおく．
(1)$H$を求めよ．
(2)$\alpha=\alpha_1$のときの$H$を$H_1$，$\alpha=\alpha_2$のときの$H$を$H_2$とするとき，行列の積$H_2H_1$を求めよ．
(3)$n$を自然数とする．$\alpha=30^\circ,\ \beta=45^\circ$のときの$(FG)^n$を求めよ．
(1)$H$を求めよ．
(2)$\alpha=\alpha_1$のときの$H$を$H_1$，$\alpha=\alpha_2$のときの$H$を$H_2$とするとき，行列の積$H_2H_1$を求めよ．
(3)$n$を自然数とする．$\alpha=30^\circ,\ \beta=45^\circ$のときの$(FG)^n$を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2010年 第2問次の問いに答えよ．
(1)連立不等式
\[ |\,2x+3y\,| \leqq 5,\quad |\,3y-2x\,| \leqq 3 \]
で表されるような$xy$平面上の領域を図示せよ．
(2)$xy$平面上の3点O$(0,\ 0)$，A$(a,\ b)$，B$(c,\ d)$に対し，OAとOBを隣り合う2辺とする平行四辺形の面積は，$|\,ad-bc\,|$であることを示せ．
(3)行列$\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{cc}
s & t \\
u & v
\end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{cc}
k & \ell \\
m & n
\end{array} \biggr)$について
\[ \biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr) \biggl( \begin{array}{cc}
s & t \\
u & v
\end{array} \biggr) = \biggl( \begin{array}{cc}
k & \ell \\
m & n
\end{array} \biggr) \]
が成り立つとき，
\[ (ad-bc)(sv-tu) = (kn-\ell m) \]
を示せ．
(4)実数$a,\ b,\ c,\ d$が$ad-bc \neq 0$をみたし，正の実数$h,\ k$が$hk=|\,ad-bc\,|$をみたすとき，
\[ |\,ax+by\,| \leqq h,\quad |\,cx+dy\,| \leqq k \]
で表されるような$xy$平面上の領域の面積は$a,\ b,\ c,\ d,\ h,\ k$によらず一定であることを示し，その面積を求めよ．
(1)連立不等式
\[ |\,2x+3y\,| \leqq 5,\quad |\,3y-2x\,| \leqq 3 \]
で表されるような$xy$平面上の領域を図示せよ．
(2)$xy$平面上の3点O$(0,\ 0)$，A$(a,\ b)$，B$(c,\ d)$に対し，OAとOBを隣り合う2辺とする平行四辺形の面積は，$|\,ad-bc\,|$であることを示せ．
(3)行列$\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{cc}
s & t \\
u & v
\end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{cc}
k & \ell \\
m & n
\end{array} \biggr)$について
\[ \biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr) \biggl( \begin{array}{cc}
s & t \\
u & v
\end{array} \biggr) = \biggl( \begin{array}{cc}
k & \ell \\
m & n
\end{array} \biggr) \]
が成り立つとき，
\[ (ad-bc)(sv-tu) = (kn-\ell m) \]
を示せ．
(4)実数$a,\ b,\ c,\ d$が$ad-bc \neq 0$をみたし，正の実数$h,\ k$が$hk=|\,ad-bc\,|$をみたすとき，
\[ |\,ax+by\,| \leqq h,\quad |\,cx+dy\,| \leqq k \]
で表されるような$xy$平面上の領域の面積は$a,\ b,\ c,\ d,\ h,\ k$によらず一定であることを示し，その面積を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2010年 第2問次の問いに答えよ．
(1)連立不等式
\[ |\,2x+3y\,| \leqq 5,\quad |\,3y-2x\,| \leqq 3 \]
で表されるような$xy$平面上の領域を図示せよ．
(2)$xy$平面上の3点O$(0,\ 0)$，A$(a,\ b)$，B$(c,\ d)$に対し，OAとOBを隣り合う2辺とする平行四辺形の面積は，$|\,ad-bc\,|$であることを示せ．
(3)行列$\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{cc}
s & t \\
u & v
\end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{cc}
k & \ell \\
m & n
\end{array} \biggr)$について
\[ \biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr) \biggl( \begin{array}{cc}
s & t \\
u & v
\end{array} \biggr) = \biggl( \begin{array}{cc}
k & \ell \\
m & n
\end{array} \biggr) \]
が成り立つとき，
\[ (ad-bc)(sv-tu) = (kn-\ell m) \]
を示せ．
(4)実数$a,\ b,\ c,\ d$が$ad-bc \neq 0$をみたし，正の実数$h,\ k$が$hk=|\,ad-bc\,|$をみたすとき，
\[ |\,ax+by\,| \leqq h,\quad |\,cx+dy\,| \leqq k \]
で表されるような$xy$平面上の領域の面積は$a,\ b,\ c,\ d,\ h,\ k$によらず一定であることを示し，その面積を求めよ．
(1)連立不等式
\[ |\,2x+3y\,| \leqq 5,\quad |\,3y-2x\,| \leqq 3 \]
で表されるような$xy$平面上の領域を図示せよ．
(2)$xy$平面上の3点O$(0,\ 0)$，A$(a,\ b)$，B$(c,\ d)$に対し，OAとOBを隣り合う2辺とする平行四辺形の面積は，$|\,ad-bc\,|$であることを示せ．
(3)行列$\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{cc}
s & t \\
u & v
\end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{cc}
k & \ell \\
m & n
\end{array} \biggr)$について
\[ \biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr) \biggl( \begin{array}{cc}
s & t \\
u & v
\end{array} \biggr) = \biggl( \begin{array}{cc}
k & \ell \\
m & n
\end{array} \biggr) \]
が成り立つとき，
\[ (ad-bc)(sv-tu) = (kn-\ell m) \]
を示せ．
(4)実数$a,\ b,\ c,\ d$が$ad-bc \neq 0$をみたし，正の実数$h,\ k$が$hk=|\,ad-bc\,|$をみたすとき，
\[ |\,ax+by\,| \leqq h,\quad |\,cx+dy\,| \leqq k \]
で表されるような$xy$平面上の領域の面積は$a,\ b,\ c,\ d,\ h,\ k$によらず一定であることを示し，その面積を求めよ．
国立 九州工業大学 2010年 第2問Oを原点とする座標空間の2点A$(0,\ 0,\ 2)$，P$(\cos \theta,\ 2+\sin \theta,\ 1)$に対して，直線AP上の点で原点Oから最も近い点をQ$(X,\ Y,\ Z)$とする．$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$として，次に答えよ．
(1)$X,\ Y,\ Z$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\theta$が$\displaystyle 0,\ \pi,\ \frac{3}{2}\pi$のときの点Qの位置ベクトルをそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$とする．$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}+u\overrightarrow{c}$をみたす実数$s,\ t,\ u$を$\theta$を用いて表せ．また，$s+t+u$の値を求めよ．
(3)点Qから$xy$平面にひいた垂線と$xy$平面の交点をR$(X,\ Y,\ 0)$とする．$\theta$が$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$の範囲を動くとき，$xy$平面における点Rの軌跡を求めよ．
(1)$X,\ Y,\ Z$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\theta$が$\displaystyle 0,\ \pi,\ \frac{3}{2}\pi$のときの点Qの位置ベクトルをそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$とする．$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}+u\overrightarrow{c}$をみたす実数$s,\ t,\ u$を$\theta$を用いて表せ．また，$s+t+u$の値を求めよ．
(3)点Qから$xy$平面にひいた垂線と$xy$平面の交点をR$(X,\ Y,\ 0)$とする．$\theta$が$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$の範囲を動くとき，$xy$平面における点Rの軌跡を求めよ．
国立 群馬大学 2010年 第2問曲線$y=-x^2$を$C_1$とし，点$(1,\ -1)$での$C_1$の接線を$\ell$とする．また，点$(0,\ 2)$と点$(1,\ -1)$を通り，点$(1,\ -1)$での接線が$\ell$となる曲線$y=ax^2+bx+c$を$C_2$とする．ただし，$a,\ b,\ c$は定数とする．
(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(3)正の定数$k$について，直線$y=-kx$と$C_1$で囲まれた部分の面積と，直線$y=-kx$と$C_2$で囲まれた部分の面積が等しいとき，$k$の値を求めよ．
(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(3)正の定数$k$について，直線$y=-kx$と$C_1$で囲まれた部分の面積と，直線$y=-kx$と$C_2$で囲まれた部分の面積が等しいとき，$k$の値を求めよ．