「直線」について
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国立 三重大学 2010年 第3問$y=\sin 2x+\cos x$のグラフの$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$に対応する部分を$C$とする．また点$\displaystyle \left( \frac{\pi}{2},\ 0 \right)$におけるグラフの接線を$\ell$とする．このとき次の問いに答えよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で曲線$C$が$\ell$の上側になる部分はないことを示せ．
(3)曲線$C$，直線$\ell$および$y$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で曲線$C$が$\ell$の上側になる部分はないことを示せ．
(3)曲線$C$，直線$\ell$および$y$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．
国立 三重大学 2010年 第4問$0<m<1$とする．$f(x)=x^2,\ g(x)=mx$とおく．この$f(x)$と$g(x)$を$0 \leqq x \leqq 1$の範囲で考える．
(1)放物線$y=f(x)$と直線$y=g(x)$および直線$x=1$で囲まれるふたつの図形の面積の和を$S(m)$とする．$S(m)$を最小にする$m$とそのときの値を求めよ．
(2)$0 \leqq x \leqq 1$の範囲での$|f(x)-g(x)|$の最大値を$h(m)$とする．$h(m)$を最小にする$m$とそのときの値を求めよ．
(1)放物線$y=f(x)$と直線$y=g(x)$および直線$x=1$で囲まれるふたつの図形の面積の和を$S(m)$とする．$S(m)$を最小にする$m$とそのときの値を求めよ．
(2)$0 \leqq x \leqq 1$の範囲での$|f(x)-g(x)|$の最大値を$h(m)$とする．$h(m)$を最小にする$m$とそのときの値を求めよ．
国立 三重大学 2010年 第4問$\displaystyle y=\sin 2x-x+\frac{\pi}{2}$のグラフの$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$に対応する部分を$C$とする．また点$\displaystyle \left( \frac{\pi}{2},\ 0 \right)$におけるグラフの接線を$\ell$とする．このとき次の問いに答えよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で曲線$C$が$\ell$の上側になる部分はないことを示せ．
(3)曲線$C$，直線$\ell$および$y$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で曲線$C$が$\ell$の上側になる部分はないことを示せ．
(3)曲線$C$，直線$\ell$および$y$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．
国立 三重大学 2010年 第5問$0<m<1$とする．$f(x)=x^2,\ g(x)=mx$とおく．この$f(x)$と$g(x)$を$0 \leqq x \leqq 1$の範囲で考える．
(1)放物線$y=f(x)$と直線$y=g(x)$および直線$x=1$で囲まれるふたつの図形の面積の和を$S(m)$とする．$S(m)$を最小にする$m$とそのときの値を求めよ．
(2)$0 \leqq x \leqq 1$の範囲での$|f(x)-g(x)|$の最大値を$h(m)$とする．$h(m)$を最小にする$m$とそのときの値を求めよ．
(1)放物線$y=f(x)$と直線$y=g(x)$および直線$x=1$で囲まれるふたつの図形の面積の和を$S(m)$とする．$S(m)$を最小にする$m$とそのときの値を求めよ．
(2)$0 \leqq x \leqq 1$の範囲での$|f(x)-g(x)|$の最大値を$h(m)$とする．$h(m)$を最小にする$m$とそのときの値を求めよ．
国立 宮崎大学 2010年 第3問座標平面上に点A$(0,\ 2)$と曲線$C:y=x^2$がある．
曲線$C$上に点P$(a,\ a^2) \ (1 \leqq a <2)$をとる．また，点Pを通り傾き1の直線と曲線$C$との交点のうち，点Pと異なる点をQとする．$\triangle$PAQの面積を$S$とおくとき，次の各問に答えよ．
(1)$S$を，$a$を用いて表せ．
(2)$S$の最大値とそのときの$a$の値を求めよ．
(3)直線PQと曲線$C$で囲まれる部分の面積が，$S$と等しくなる$a$の値を求めよ．
曲線$C$上に点P$(a,\ a^2) \ (1 \leqq a <2)$をとる．また，点Pを通り傾き1の直線と曲線$C$との交点のうち，点Pと異なる点をQとする．$\triangle$PAQの面積を$S$とおくとき，次の各問に答えよ．
(1)$S$を，$a$を用いて表せ．
(2)$S$の最大値とそのときの$a$の値を求めよ．
(3)直線PQと曲線$C$で囲まれる部分の面積が，$S$と等しくなる$a$の値を求めよ．
国立 熊本大学 2010年 第1問原点をOとし，空間内に3点A$(4,\ 0,\ 0)$，B$(1,\ 2,\ 0)$，C$(2,\ 1,\ 2)$をとる．線分BCを$t:(1-t) \ (0<t<1)$に内分する点をPとおく．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\triangle$OAPの面積を最小にする$t$の値を求めよ．
(2)Cを通り，3点O，A，Pを通る平面に垂直な直線と$xy$平面との交点をDとする．Dが$\triangle$OABの内部にあるとき，$t$の範囲を求めよ．
(1)$\triangle$OAPの面積を最小にする$t$の値を求めよ．
(2)Cを通り，3点O，A，Pを通る平面に垂直な直線と$xy$平面との交点をDとする．Dが$\triangle$OABの内部にあるとき，$t$の範囲を求めよ．
国立 長崎大学 2010年 第2問正三角形ABCにおいて，線分ABを$2:1$に内分する点をD，線分BCの中点をE，点Eから直線ABに引いた垂線とABの交点をHとする．また，$\overrightarrow{\mathrm{HB}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{HE}}=\overrightarrow{b}$とする．次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AH}},\ \overrightarrow{\mathrm{DB}}$を$\overrightarrow{a}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)線分HE上の点Fが$\overrightarrow{\mathrm{AF}} \perp \overrightarrow{\mathrm{CD}}$を満たすとき，Fは線分EHを$2:1$に内分することを示せ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AH}},\ \overrightarrow{\mathrm{DB}}$を$\overrightarrow{a}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)線分HE上の点Fが$\overrightarrow{\mathrm{AF}} \perp \overrightarrow{\mathrm{CD}}$を満たすとき，Fは線分EHを$2:1$に内分することを示せ．
国立 千葉大学 2010年 第6問数直線の原点上にある点が，以下の規則で移動する試行を考える． \\
\quad （規則） サイコロを振って出た目が奇数の場合は，正の方向に1移動し，出た目が偶数の場合は，負の方向に1移動する． \\
$k$回の試行の後の，点の座標を$X(k)$とする．
(1)$X(10)=0$である確率を求めよ．
(2)$X(1) \neq 0,\ X(2) \neq 0,\ \cdots,\ X(5) \neq 0$であって，かつ，$X(6)=0$となる確率を求めよ．
(3)$X(1) \neq 0,\ X(2) \neq 0,\ \cdots,\ X(9) \neq 0$であって，かつ，$X(10)=0$となる確率を求めよ．
\quad （規則） サイコロを振って出た目が奇数の場合は，正の方向に1移動し，出た目が偶数の場合は，負の方向に1移動する． \\
$k$回の試行の後の，点の座標を$X(k)$とする．
(1)$X(10)=0$である確率を求めよ．
(2)$X(1) \neq 0,\ X(2) \neq 0,\ \cdots,\ X(5) \neq 0$であって，かつ，$X(6)=0$となる確率を求めよ．
(3)$X(1) \neq 0,\ X(2) \neq 0,\ \cdots,\ X(9) \neq 0$であって，かつ，$X(10)=0$となる確率を求めよ．
国立 宮崎大学 2010年 第4問下図の$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}:\mathrm{AC}=3:4$とする．また，$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．さらに，
線分$\mathrm{AD}$を$5:3$に内分する点を$\mathrm{E}$，
線分$\mathrm{ED}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{F}$，
線分$\mathrm{AC}$を$7:5$に内分する点を$\mathrm{G}$
とする．\\
\quad 直線$\mathrm{BE}$と辺$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{H}$とするとき，次の各問に答えよ．
（図は省略）
(1)$\displaystyle \frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{HC}}$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{BH} \para \mathrm{FG}$であることを示せ．
(3)$\mathrm{FG}=7$のとき，線分$\mathrm{BE}$の長さを求めよ．
線分$\mathrm{AD}$を$5:3$に内分する点を$\mathrm{E}$，
線分$\mathrm{ED}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{F}$，
線分$\mathrm{AC}$を$7:5$に内分する点を$\mathrm{G}$
とする．\\
\quad 直線$\mathrm{BE}$と辺$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{H}$とするとき，次の各問に答えよ．
（図は省略）
(1)$\displaystyle \frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{HC}}$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{BH} \para \mathrm{FG}$であることを示せ．
(3)$\mathrm{FG}=7$のとき，線分$\mathrm{BE}$の長さを求めよ．
国立 鳥取大学 2010年 第1問次の問いに答えよ．
(1)直線$2x+y=16 \cdots\cdots ①,\ 2x+3y=24 \cdots\cdots ②$の$x$切片と$y$切片の座標をそれぞれ求めよ．
(2)(1)で定めた直線$①$と$②$との交点の座標を求めよ．
(3)$4$つの不等式$2x+y \leqq 16,\ 2x+3y \leqq 24,\ x \geqq 0,\ y \geqq 0$の表す領域を$F$とする．$F$の面積を求めよ．
(4)点$(x,\ y)$が(3)で定めた領域$F$を動くとき，$x+y$の最大値と最小値を求めよ．
(1)直線$2x+y=16 \cdots\cdots ①,\ 2x+3y=24 \cdots\cdots ②$の$x$切片と$y$切片の座標をそれぞれ求めよ．
(2)(1)で定めた直線$①$と$②$との交点の座標を求めよ．
(3)$4$つの不等式$2x+y \leqq 16,\ 2x+3y \leqq 24,\ x \geqq 0,\ y \geqq 0$の表す領域を$F$とする．$F$の面積を求めよ．
(4)点$(x,\ y)$が(3)で定めた領域$F$を動くとき，$x+y$の最大値と最小値を求めよ．