$a>0$とし，
\[ f(x)=a^2(x+1)e^{-ax} \]
とおく．

(1)関数$f(x)$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．
(2)(1)で求めた$x$の値を$c$とする．曲線$y=f(x)$と$x$軸，$y$軸および直線$x=c$で囲まれた図形の面積を$S(a)$とする．$0<a<1$における$S(a)$の最大値とそのときの$a$の値を求めよ．ただし，$e>2$であることを証明なしに用いてよい．

三角形OABにおいて，辺OAを$1:2$に内分する点をM，辺OBを$3:2$に内分する点をNとする．さらに，線分ANと線分BMの交点をXとするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OX}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(2)直線OXと辺ABの交点をYとするとき，$\text{AY}:\text{YB}$を求めよ．
(3)三角形OABの面積を$S$とし，(2)のYに対して三角形MNYの面積を$T$とする．$S:T$を求めよ．

関数$f(x)$の導関数$f^{\, \prime}(x)$は$f^{\, \prime}(x)=x^2-1$を満たし，さらに$f(3)=6$であるとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=kx$が接するときの$k$の値を求めよ．
(4)$\displaystyle g(x)=\frac{2}{9}x^3+\frac{2}{3}x^2-2x$とする．このとき，$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフを同一座標平面上に図示せよ．また，それらの共有点の座標を求めよ．

$a$を正の実数とし，$f(x)=x^3-3a^2x$とおく．曲線$C:y=f(x)$の原点Oにおける接線を$\ell_1$，原点以外の任意の点P$(p,\ f(p))$における接線を$\ell_2$とし，2つの直線$\ell_1,\ \ell_2$の交点をQとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)2直線$\ell_1,\ \ell_2$の方程式を求めよ．
(2)点Qの座標を求めよ．
(3)$\triangle$OPQは曲線$C$によって2つの部分に分けられる．このうち，曲線$C$と線分OPで囲まれた図形の面積を$S$，曲線$C$と2直線$\ell_1,\ \ell_2$で囲まれた図形の面積を$T$とするとき，比$S:T$は一定であることを示せ．

$A,\ A^\prime$をそれぞれ座標平面上の点$(\alpha \cos \theta,\ \alpha \sin \theta)$，$(-\alpha \cos \theta,\ -\alpha \sin \theta)$とし，$f$を行列
\[ \biggl( \begin{array}{cc}
r \cos \theta & -r \sin \theta \\
r \sin \theta & r \cos \theta
\end{array} \biggr) \]
の表す1次変換とする．$\displaystyle \alpha= \left( \frac{45}{4} \right)^{\frac{1}{6}},\ r=\left( \frac{10}{3} \right)^{\frac{1}{6}},\ \theta=\frac{\pi}{6}$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)2点A，A$^{\prime}$の逆変換$f^{-1}$による像を焦点とし，焦点からの距離の差が2に等しい双曲線$C_1$の方程式を求めなさい．
(2)2点A，A$^\prime$の合成関数$f \circ f$による像を焦点とし，直線$x+2y=0$を漸近線にもつ双曲線$C_2$の方程式を求めなさい．
(3)双曲線$C_1$と$C_2$により囲まれた部分を$x$軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めなさい．

原点をOとする．$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
2 & 1
\end{array} \right)$で表される移動を$f$とし，$f$により点$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta)$は点$\mathrm{Q}$に移るとする．ただし，$0<\theta<\pi$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)線分$\mathrm{OQ}$の長さのとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積の最大値およびそのときの$\theta$の値を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$から直線$\mathrm{OQ}$に引いた垂線の長さを$\theta$を用いて表せ．
(4)$\mathrm{P}_1=\mathrm{P},\ \mathrm{P}_2=\mathrm{Q}$とし，$f$により点$\mathrm{P}_{n-1}$が移る点を$\mathrm{P}_n \ (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots)$とおく．点$\mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \mathrm{P}_3,\ \cdots,\ \mathrm{P}_n,\ \cdots$が1直線上にあるとき，$\theta$の値を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)関数$y=|x^2-1|$のグラフの概形をかけ．
(2)$a>1$とする．曲線$y=|x^2-1|$と$x$軸，$y$軸および直線$x=a$とで囲まれた図形において，$0 \leqq x \leqq 1$の部分を$S_1$とし，$1 \leqq x \leqq a$の部分を$S_2$とする．$S_1,\ S_2$を$y$軸のまわりに1回転してできる立体の体積をそれぞれ$V_1,\ V_2$とする．$V_1,\ V_2$を求めよ．
(3)$V_1=V_2$となるとき，$a$の値を求めよ．

空間内の四面体OABCについて，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．辺OA上の点Dは$\text{OD}:\text{DA}=1:2$を満たし，辺OB上の点Eは$\text{OE}:\text{EB}=1:1$を満たし，辺BC上の点Fは$\text{BF}:\text{FC}=2:1$を満たすとする．3点D，E，Fを通る平面を$\alpha$とする．以下の問に答えよ．

(1)$\alpha$と辺ACが交わる点をGとする．$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を表せ．
(2)$\alpha$と直線OCが交わる点をHとする．$\text{OC}:\text{CH}$を求めよ．
(3)四面体OABCを$\alpha$で2つの立体に分割する．この2つの立体の体積比を求めよ．

$a$を正の実数とし，$b$を負の実数とする．$xy$平面上の直線$C_1:y=x$と放物線$C_2:y=ax^2+bx$を考える．$C_1$と$C_2$は2点で交わっており，$C_1$と$C_2$の囲む図形の面積を$S$とする．以下の問に答えよ．

(1)$a$を$S$と$b$を用いて表せ．
(2)$C_1$と$C_2$の交点の座標を$(p_1,\ q_1) ,\ (p_2,\ q_2) \ (\text{ここで}p_1<p_2)$とし，$L=p_2-p_1$とおく．$p_1 \leqq x \leqq p_2$における$ax^2+bx$の最小値の絶対値を$T$とする．$S$の値が一定になるように$a$と$b$を変化させたとき，$\displaystyle \frac{T-L}{L^3}$の最小値を$S$を用いて表せ．

空間内の四面体OABCについて，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．辺OA上の点Dは$\text{OD}:\text{DA}=1:2$を満たし，辺OB上の点Eは$\text{OE}:\text{EB}=1:1$を満たし，辺BC上の点Fは$\text{BF}:\text{FC}=2:1$を満たすとする．3点D，E，Fを通る平面を$\alpha$とする．以下の問に答えよ．

(1)$\alpha$と辺ACが交わる点をGとする．$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を表せ．
(2)$\alpha$と直線OCが交わる点をHとする．$\text{OC}:\text{CH}$を求めよ．
(3)四面体OABCを$\alpha$で2つの立体に分割する．この2つの立体の体積比を求めよ．