直線$y=a(x+2)$と円$x^2+y^2-4x=0$は異なる2点P，Qで交わっているとする．また，線分PQの中点をRとする．

(1)定数$a$の値の範囲を求めよ．
(2)Rの座標を$a$を用いて表せ．
(3)原点Oと点Rの距離を求めよ．
(4)$a$の値が(1)で求めた範囲を動くとき，点Rの軌跡を求めよ．

$f(x)=x^2-2|x|-1$とする．

(1)関数$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=3x+5$の交点の座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=3x+5$で囲まれた図形の面積を求めよ．

正三角形OABにおいて，辺AB，AOを$1:3$に内分する点をそれぞれP，Qとし，辺ABの中点をRとする．直線PQ上の点Sを$\text{OB} \perp \text{OS}$となるように定める．また，直線BQ上の点Tを$\text{OT} \perp \text{BQ}$となるように定める．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OT}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)3点R，S，Tが同一直線上にあることを示せ．

正三角形OABにおいて，辺AB，AOを$1:3$に内分する点をそれぞれP，Qとし，辺ABの中点をRとする．直線PQ上の点Sを$\text{OB} \perp \text{OS}$となるように定める．また，直線BQ上の点Tを$\text{OT} \perp \text{BQ}$となるように定める．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OT}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)3点R，S，Tが同一直線上にあることを示せ．

3次式$x^3-7x^2+15x+b$を1次式$x-a$で割ったときの商が$f(x)$で，余りが5であるとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$b$を$a$を用いて表せ．
(2)$a>0$で，放物線$y=f(x)$の頂点が直線$y=x-a$の上にあるとき，$f(x)$を求めよ．

$3$次式$x^3-7x^2+15x+b$を$1$次式$x-a$で割ったときの商が$f(x)$で，余りが$5$であるとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$b$を$a$を用いて表せ．
(2)$a>0$で，放物線$y=f(x)$の頂点が直線$y=x-a$の上にあるとき，$f(x)$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)双曲線$C:x^2-y^2=-1$上の点$(1,\ \sqrt{2})$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$C$と$\ell$および$y$軸で囲まれた図形を$y$軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．

双曲線$x^2-y^2=1$の$x>0$の部分を$C$とする．$a$を正の定数とし，点P$\displaystyle (0,\ \frac{2}{a})$に最も近い$C$上の点をQとする．また，点R$(0,\ -a)$を通る直線が点Sで$C$に接している．このとき，次の問いに答えよ．

(1)点Qの座標および直線PQの傾きを$a$を用いて表せ．
(2)点Sの座標および直線RSの傾きを$a$を用いて表せ．
(3)3点P，Q，Rを通る円の直径を$a$を用いて表せ．

3点O$(0,\ 0,\ 0)$，A$(3,\ 0,\ 0)$，B$(1,\ 2,\ 1)$がある．

(1)$z$軸上の点C$(0,\ 0,\ m)$から直線AB上の点Hにおろした垂線をCHとする．このとき，点Hが線分AB上にあるような$m$の値の範囲を求めよ．
(2)点Hが線分AB上にあるとき，垂線CHの長さの最大値，最小値とそのときのHの座標を求めよ．
(3)三角形OABに外接する円の中心Pの座標とその半径$r$を求めよ．

点$(a,\ b)$を通り曲線$y=x^3-x$に接するような異なる3本の直線が存在するための実数$a,\ b$が満たすべき必要十分条件を求め，それを満たす点$(a,\ b)$の存在する領域を図示せよ．