$2$曲線$y=x^2,\ y=2\sqrt{2x}$で囲まれた図形$D$について，次の問いに答えよ．

(1)図形$D$の面積を求めよ．
(2)図形$D$は直線$y=2$によって二つの図形に分けられる．このとき，それぞれの図形の面積$S_1,\ S_2$を求めよ．ただし，$S_1>S_2$とする．
(3)図形$D$の面積が直線$x=a$によって二等分されるとき，$a^3$の値を求めよ．

鋭角三角形$\triangle$ABCにおいて，頂点Aを通り直線BCに点Bで接する円$C_1$の半径を$p$，頂点Aを通り直線BCに点Cで接する円$C_2$の半径を$q$とする．このとき，$\triangle$ABCの外接円の半径$R$を$p,\ q$で表せ．

曲線$y=-x^2+3x$について，以下の問いに答えよ．

(1)曲線$y=-x^2+3x$と$x$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．
(2)$a$を$0<a<3$をみたす定数とする．このとき，直線$y=ax$と曲線$y=-x^2+3x$との交点の$x$座標を求めよ．
(3)(1)の図形の面積を二等分する原点を通る直線を求めよ．

$a$を実数とし，$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a+1 & a \\
3 & a+2
\end{array} \biggr)$とする．2点P$(x,\ y)$，Q$(X,\ Y)$について
\[ \biggl( \begin{array}{c}
X \\
Y
\end{array} \biggr) = A \biggl( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \biggr) \]
が成り立つとき，Pは$A$によりQに移るという．

(1)原点以外の点で，$A$によりそれ自身に移るものが存在するとき，$a$を求めよ．
(2)次の条件$(*)$をみたす$a,\ k$を求めよ．
\[ (*) \quad \text{直線} \ell:y=kx+1 \text{上のすべての点は，} \ A \text{により} \ell \text{上の点に移る．} \]
(3)$(*)$をみたす$a,\ k$に対し，直線$\ell$上の点で，$A$によりそれ自身に移るものを求めよ．

直線$\ell:mx+ny=1$が，楕円$\displaystyle C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \ (a>b>0)$に接しながら動くとする．

(1)点$(m,\ n)$の軌跡は楕円になることを示せ．
(2)$C$の焦点$F_1(-\sqrt{a^2-b^2},\ 0)$と$\ell$との距離を$d_1$とし，もう1つの焦点$F_2(\sqrt{a^2-b^2},\ 0)$と$\ell$との距離を$d_2$とする．このとき$d_1d_2=b^2$を示せ．

$f(x)=2x^3+3x^2-12x$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$a$を実数とするとき，直線$y=ax+a+13$が$a$に関係しない1点を通ることを示せ．また，その点が(1)のグラフ上にあることを示せ．
(3)(1)のグラフと(2)の直線との共有点の個数を求めよ．

2つずつ平行な3組の平面で囲まれた立体を平行六面体という．下図のような平行六面体$\mathrm{OADB}$-$\mathrm{CQRS}$において，$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{F}$，$\triangle \mathrm{DQS}$の重心を$\mathrm{G}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$で表せ．
(2)4点$\mathrm{O},\ \mathrm{F},\ \mathrm{G},\ \mathrm{R}$は同一直線上にあることを示せ．

（図は省略）

鋭角三角形$\triangle \mathrm{ABC}$において，頂点$\mathrm{A}$を通り直線$\mathrm{BC}$に点$\mathrm{B}$で接する円$C_1$の半径を$p$，頂点$\mathrm{A}$を通り直線$\mathrm{BC}$に点$\mathrm{C}$で接する円$C_2$の半径を$q$とする．このとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径$R$を$p,\ q$で表せ．

$2$つずつ平行な$3$組の平面で囲まれた立体を平行六面体という．下図のような平行六面体$\mathrm{OADB}$-$\mathrm{CQRS}$において，$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{F}$，$\triangle \mathrm{DQS}$の重心を$\mathrm{G}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$で表せ．
(2)$4$点$\mathrm{O},\ \mathrm{F},\ \mathrm{G},\ \mathrm{R}$は同一直線上にあることを示せ．

（図は省略）

公正に作られた$n$枚のコインを同時に投げるとき，表が出た枚数を$k$で表す．この$n,\ k$を用いて，放物線$C$と直線$\ell$を
\begin{eqnarray}
& & C:y=(x-k)^2+n-k, \nonumber \\
& & \ell:y=x+n-k \nonumber
\end{eqnarray}
で定めるとき，次の問いに答えよ．

(1)$C$と$\ell$が異なる2つの交点をもつ確率を求めよ．
(2)$C$と$\ell$で囲まれた図形の面積$S$を$k$を用いて表せ．
(3)$n=3$のとき，$\displaystyle (6S)^{\frac{2}{3}}$の期待値を求めよ．