$A=\left( \begin{array}{cc}
a & 1 \\
1 & a
\end{array} \right),\ B=\left( \begin{array}{cc}
1 & a \\
a & 1
\end{array} \right)$について$C=AB$と定め，行列$C$の表す$1$次変換（移動）を$f$とする．ただし，$B \neq E$（単位行列），$a$は実数とする．

(1)行列の積$C=AB$を計算せよ．
(2)$1$次変換$f$によって，点$(0,\ 1)$を通る直線$\ell$上のすべての点がすべてその直線$\ell$上に移るとき，$a$の値と直線$\ell$の方程式を求めよ．

$xy$平面において原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする半径$1$の円を$S$とし，円$S$の任意の点$\mathrm{P}$に対して，点$\mathrm{P}$における円$S$の接線を$L(\mathrm{P})$とおく．
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right) \]
を全ての成分が実数からなる$2$行$2$列の行列とし，$A$によって定まる$xy$平面の一次変換
\[ \left( \begin{array}{c}
x^\prime \\
y^\prime
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right) \]
を$\varphi$とおく．このとき，円$S$の任意の点$\mathrm{P}$に対して円$S$の点$\mathrm{Q}$が存在し，接線$L(\mathrm{P})$のいかなる点も$\varphi$によって接線$L(\mathrm{Q})$の点に移されると仮定する．

(1)円$S$の点$\mathrm{P}$の座標を$(s,\ t)$として，接線$L(\mathrm{P})$の方程式を求めよ．
(2)行列$A$は逆行列を持つことを証明せよ．
(3)円$S$の点$\mathrm{Q}$は円$S$の点$\mathrm{P}$により一意的に定まることを示し，点$\mathrm{Q}$の座標$(u,\ v)$を点$\mathrm{P}$の座標$(s,\ t)$及び行列$A$の成分$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表示せよ．
(4)$xy$平面の一次変換$\varphi$は，原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする回転か，または原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を通るある直線$\ell$を対称軸とする対称変換のいずれかであることを証明せよ．

座標平面上の楕円$C_1:4x^2+y^2=4$について，以下の問いに答えよ．

(1)$C_1$を$x$軸方向に$p$，$y$軸方向に$1$だけ平行移動した楕円を$C_2$とする．$1 \leqq k \leqq 2$を満たすすべての$k$に対して，直線$\ell:y=kx-3$と$C_2$が$2$個の共有点をもつとき，$p$の値の範囲を求めよ．
(2)$a,\ b,\ c,\ d,\ e$を定数とする．$C_1$を原点まわりに${75}^\circ$回転した$2$次曲線を
\[ C_3:x^2+axy+by^2+cx+dy+e=0 \]
とするとき，$a,\ b$の値を求めよ．

$t>0$とする．平面上に$\triangle \mathrm{OAB}$と点$\mathrm{P}$がある．$\mathrm{P}$は$(2-t) \overrightarrow{\mathrm{PO}}+2(1-t) \overrightarrow{\mathrm{PA}}+3t \overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たす．直線$\mathrm{OP}$と直線$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{C}$とする．$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=a$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=b$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|}$を$t$を用いて表せ．

(2)線分$\mathrm{OC}$が$\angle \mathrm{AOB}$の$2$等分線となるとき，$\mathrm{C}$は辺$\mathrm{AB}$を$a:b$に内分する点であることを示せ．
(3)$(2)$のとき，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S_1$，$\triangle \mathrm{PAB}$の面積を$S_2$とする．$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を$a,\ b$を用いて表せ．

$a$を実数とする．傾きが$m$である2つの直線が，曲線$y=x^3-3ax^2$とそれぞれ点A，点Bで接している．

(1)線分ABの中点をCとすると，Cは曲線$y=x^3-3ax^2$上にあることを示せ．
(2)直線ABの方程式が$y=-x-1$であるとき，$a,\ m$の値を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)座標平面上で，点$(1,\ 2)$を通り傾き$a$の直線と放物線$y=x^2$によって囲まれる部分の面積を$S(a)$とする．$a$が$0 \leqq a \leqq 6$の範囲を変化するとき，$S(a)$を最小にするような$a$の値を求めよ．
(2)$\triangle$ABCにおいて$\text{AB}=2,\ \text{AC}=1$とする．$\angle \text{BAC}$の二等分線と辺BCの交点をDとする．$\text{AD}=\text{BD}$となるとき，$\triangle$ABCの面積を求めよ．

$0 < \theta < \displaystyle \frac{\pi}{2}$とする．2つの曲線
\[ C_1:x^2+3y^2=3, \quad C_2:\frac{x^2}{\cos^2 \theta} - \frac{y^2}{\sin^2 \theta} =2 \]
の交点のうち，$x$座標と$y$座標がともに正であるものをPとする．Pにおける$C_1,\ C_2$の接線をそれぞれ$\ell_1,\ \ell_2$とし，$y$軸と$\ell_1,\ \ell_2$の交点をそれぞれQ，Rとする．$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，線分QRの長さの最小値を求めよ．

$\displaystyle f(x) =\frac{\log x}{x},\ g(x) = \frac{2 \log x}{x^2} \ (x > 0)$とする．以下の問に答えよ．ただし，自然
対数の底$e$について，$e=2.718 \cdots$であること，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$であることを証明なしで用いてよい．

(1)2曲線$y = f(x)$と$y = g(x)$の共有点の座標をすべて求めよ．
(2)区間$x>0$において，関数$y = f(x)$と$y = g(x)$の増減，極値を調べ，2曲線$y = f(x),\ y = g(x)$のグラフの概形をかけ．グラフの変曲点は求めなくてよい．
(3)区間$1 \leqq x \leqq e$において，2曲線$y = f(x)$と$y = g(x)$，および直線$x = e$で囲まれた図形の面積を求めよ．

実数$a,\ b$に対して，$f(x) = a(x-b)^2$とおく．ただし，$a$は正とする．放物線$y = f(x)$が直線$y = -4x+4$に接している．このとき，以下の問に答えよ．

(1)$b$を$a$で表せ．
(2)$0 \leqq x \leqq 2$において，$f(x)$の最大値$M(a)$と，最小値$m(a)$を求めよ．
(3)$a$が正の実数を動くとき，$M(a)$の最小値を求めよ．

空間内に4点O，A，B，Cがあり，
\[ \text{OA} = 3,\ \text{OB} = \text{OC} = 4,\ \angle \text{BOC} = \angle \text{COA} = \angle \text{AOB} = \frac{\pi}{3} \]
であるとする．3点A，B，Cを通る平面に垂線OHをおろす．このとき，以下の問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=r\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c}$と表すとき，$r,\ s,\ t$を求めよ．
(2)直線CHと直線ABの交点をDとするとき，長さの比$\text{CH}:\text{HD},\ \text{AD}:\text{DB}$をそれぞれ求めよ