「直線」について
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公立 大阪府立大学 2011年 第6問点Q，Rを$xy$平面上の放物線$C:y=x^2$上の相異なる点とする．
(1)$q<p^2$を満たす実数$p,\ q$に対して，点P$(p,\ q)$を考える．Q，Rにおける$C$の2本の接線がともにPを通るとき，$C$とこれらの接線で囲まれた部分の面積を，$p,\ q$を用いて表わせ．
(2)(1)で求めた面積を$S_1$とする．直線QRと$C$で囲まれた部分の面積を$S_2$とするとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を求めよ．
(1)$q<p^2$を満たす実数$p,\ q$に対して，点P$(p,\ q)$を考える．Q，Rにおける$C$の2本の接線がともにPを通るとき，$C$とこれらの接線で囲まれた部分の面積を，$p,\ q$を用いて表わせ．
(2)(1)で求めた面積を$S_1$とする．直線QRと$C$で囲まれた部分の面積を$S_2$とするとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を求めよ．
公立 公立はこだて未来大学 2011年 第3問関数$f(x)=x^2-2 |2x-1|+2$について，以下の問いに答えよ．
(1)$y=f(x)$のグラフを描け．
(2)$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた$2$つの部分の面積の和を求めよ．
(3)$y=f(x)$のグラフに，異なる$2$点で接する直線を求めよ．
(1)$y=f(x)$のグラフを描け．
(2)$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた$2$つの部分の面積の和を求めよ．
(3)$y=f(x)$のグラフに，異なる$2$点で接する直線を求めよ．
公立 公立はこだて未来大学 2011年 第4問座標平面において，原点を通り傾きが$\tan 2\theta$の直線を$\ell$で表す．ただし，$\theta$は$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$を満たすとする．中心が第1象限に属し，直線$\ell$と$x$軸に接する半径1の円$C$を考える．さらに，円$C$と直線$\ell$および$x$軸に接し，中心が第1象限に属する2つの円のうち，面積が大きいものを$C^\prime$で表す．以下の問いに答えよ．
(1)円$C$の方程式を求めよ．
(2)円$C^\prime$の半径を，$\theta$の関数として表せ．
(3)円$C^\prime$の円周の長さが，円$C$の円周の長さの3倍になるように$\theta$の値を定めよ．
(1)円$C$の方程式を求めよ．
(2)円$C^\prime$の半径を，$\theta$の関数として表せ．
(3)円$C^\prime$の円周の長さが，円$C$の円周の長さの3倍になるように$\theta$の値を定めよ．
公立 会津大学 2011年 第4問$a$を正の定数とする．原点をOとし，曲線$y=x^3$上に点P$(a,\ a^3)$をとり，線分OPと曲線によって囲まれた部分をAとする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)Aを$x$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．
(2)Aを$y$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積$W$を求めよ．
(3)直線OPの傾きを$m$とするとき，$\displaystyle \frac{mW}{V}$の値を求めよ．
(1)Aを$x$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．
(2)Aを$y$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積$W$を求めよ．
(3)直線OPの傾きを$m$とするとき，$\displaystyle \frac{mW}{V}$の値を求めよ．
公立 兵庫県立大学 2011年 第2問$xy$平面において$y=x^2$で表される放物線を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{T}(t,\ t^2)$を通る直線で，点$\mathrm{T}$における$C$の接線と直交するものを，点$\mathrm{T}$における$C$への垂線と呼ぶことにする．以下の問に答えなさい．
(1)点$\mathrm{T}(t,\ t^2)$における$C$への垂線の方程式を求めなさい．
(2)点$\displaystyle \mathrm{A} \left( -12,\ \frac{15}{2} \right)$からひいた$C$への垂線の方程式をすべて求めなさい．
(3)$xy$平面上の点$\mathrm{B}(p,\ q)$から$C$への垂線が$3$本ひけるとき，$p,\ q$が満たすべき必要十分条件を求めなさい．
(1)点$\mathrm{T}(t,\ t^2)$における$C$への垂線の方程式を求めなさい．
(2)点$\displaystyle \mathrm{A} \left( -12,\ \frac{15}{2} \right)$からひいた$C$への垂線の方程式をすべて求めなさい．
(3)$xy$平面上の点$\mathrm{B}(p,\ q)$から$C$への垂線が$3$本ひけるとき，$p,\ q$が満たすべき必要十分条件を求めなさい．
公立 名古屋市立大学 2011年 第2問半径$1$の円が直線上を一定の速さ$a (a>0)$で滑らないように回転しながら進んでいる．時刻$0$において直線と接している円周上の点を$\mathrm{P}$，時刻$0$から$t$までに円が回転した角度を$\theta$とする．次の問いに答えよ．
(1)時刻$t$における$\mathrm{P}$の速度ベクトルの大きさ$|\overrightarrow{v(t)}|$を求めよ．
(2)積分$\displaystyle \int_0^{\frac{2\pi}{a}} |\overrightarrow{v(t)}| \, dt$を求めよ．
(1)時刻$t$における$\mathrm{P}$の速度ベクトルの大きさ$|\overrightarrow{v(t)}|$を求めよ．
(2)積分$\displaystyle \int_0^{\frac{2\pi}{a}} |\overrightarrow{v(t)}| \, dt$を求めよ．
公立 名古屋市立大学 2011年 第3問点$\mathrm{O}$を中心とする半径$r$の円の内部にある点を$\mathrm{A}$とする．この円周上の点$\mathrm{P}$について，線分$\mathrm{AP}$の垂直二等分線と直線$\mathrm{OP}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{P}$がこの円周上を動くとき，点$\mathrm{Q}$が描く軌跡を求めよ．
公立 三重県立看護大学 2011年 第3問放物線$y=x^2+2x$と直線$y=-x+4$について，次の問いに答えなさい．
(1)放物線と直線のグラフを描きなさい．
(2)放物線と直線の交点の座標を求めなさい．
(3)放物線と直線によって囲まれた部分の面積を求めなさい．
(1)放物線と直線のグラフを描きなさい．
(2)放物線と直線の交点の座標を求めなさい．
(3)放物線と直線によって囲まれた部分の面積を求めなさい．
公立 富山県立大学 2011年 第3問$2$つの曲線$C_1:y=x \log x$，$C_2:y=2x \log x$について，次の問いに答えよ．ただし，$x>0$である．
(1)$C_1$と$C_2$に共通する接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$C_1,\ C_2$および$\ell$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(1)$C_1$と$C_2$に共通する接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$C_1,\ C_2$および$\ell$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
公立 岐阜薬科大学 2011年 第3問放物線と直線に関して，以下の問いに答えよ．
(1)放物線$y=x^2$と直線$y=k (k>0)$で囲まれた部分の面積$S(k)$を$k$を用いて表せ．
(2)放物線$y=1-x^2$と$x$軸とで囲まれた部分を直線$\displaystyle y=a \left( 0<a<\frac{1}{2} \right)$を折り目として折り返す．
(i) 重なっていない部分の面積$S$を$a$を用いて表せ．
(ii) 重なっていない部分のうちで，$x$軸の下側にある部分の面積を$S^\prime$とする．$S=2S^\prime$となる$a$の値を求めよ．
(1)放物線$y=x^2$と直線$y=k (k>0)$で囲まれた部分の面積$S(k)$を$k$を用いて表せ．
(2)放物線$y=1-x^2$と$x$軸とで囲まれた部分を直線$\displaystyle y=a \left( 0<a<\frac{1}{2} \right)$を折り目として折り返す．
(i) 重なっていない部分の面積$S$を$a$を用いて表せ．
(ii) 重なっていない部分のうちで，$x$軸の下側にある部分の面積を$S^\prime$とする．$S=2S^\prime$となる$a$の値を求めよ．