曲線$y=x^3-2x^2-x+2$を$C$とする．$f(x)=x^3-2x^2-x+2$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)$y$軸上の点$\mathrm{P}(0,\ a)$から$C$に接線がちょうど$3$本引けた．このとき$a$がとり得る値の範囲を求めよ．ただし，$C$と$1$本の直線が$2$点以上で接することはないことを，説明なく用いてよい．
(2)点$\mathrm{P}(0,\ a)$から曲線$C$に引いた接線上の接点を点$\mathrm{Q}(s,\ f(s))$とする．$a$が$(1)$で求めた範囲の値をとるとき，$s$がとり得る値の範囲を求めよ．

放物線$C:y=x^2$の点A$(a,\ a^2) \ (a>0)$を通り，放物線のこの点における接線に垂直な直線を$\ell$とする．次の問いに答えよ．

(1)直線$\ell$と放物線$C$で囲まれる図形の面積$S$を求めよ．
(2)直線$\ell$と放物線$C$の2つの交点をA，Bとする．点A，Bにおける$C$の接線の交点Pの座標を求めよ．

放物線$C:y=x^2$の点A$(a,\ a^2) \ (a>0)$における法線を$\ell$とする．次の問いに答えよ．

(1)直線$\ell$と放物線$C$で囲まれる図形の面積$S$を求めよ．
(2)直線$\ell$と放物線$C$の2つの交点をA，Bとする．点A，Bにおける$C$の接線の交点Pの座標を求めよ．

平面上の原点を$\mathrm{O}$とし，三角形$\mathrm{OAB}$と実数$p \ (0<p<1)$に対して，点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$，$\cdots$の位置ベクトルを
\begin{eqnarray}
& & \overrightarrow{\mathrm{OP_1}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\quad \overrightarrow{\mathrm{OP_2}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+p\overrightarrow{\mathrm{AB}},\quad \overrightarrow{\mathrm{OP_3}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+p\overrightarrow{\mathrm{AB}}+p^2\overrightarrow{\mathrm{BO}}, \nonumber \\
& & \overrightarrow{\mathrm{OP_4}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+p\overrightarrow{\mathrm{AB}}+p^2\overrightarrow{\mathrm{BO}}+p^3\overrightarrow{\mathrm{OA}}, \nonumber \\
& & \overrightarrow{\mathrm{OP_5}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+p\overrightarrow{\mathrm{AB}}+p^2\overrightarrow{\mathrm{BO}}+p^3\overrightarrow{\mathrm{OA}}+p^4\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \cdots \nonumber
\end{eqnarray}
によって定義する．次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP_{3n}}}$を$n,\ p,\ \overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\overrightarrow{\mathrm{OP_{3n}}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}$とする．直線$\mathrm{OP}$と直線$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Q}$とするとき，点$\mathrm{Q}$は線分$\mathrm{AB}$をどのような比に分けるか答えよ．
(3)点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{OQ}$をどのような比に分けるか答えよ．

平面上に三角形OABがあり，$\text{OA}=3,\ \text{OB}=2,\ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=-2$であるとする．線分OAを$2:1$の比に内分する点をCとする．また，線分ABを$t:(1-t)$の比に内分する点をPとし，直線OPと直線BCの交点をQとする．ただし，$t$は$0<t<1$を満たす実数である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)三角形OABの面積$S$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}$および$t$を用いて表せ．また，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=k\overrightarrow{\mathrm{OP}}$となる実数$k$を$t$を用いて表せ．
(3)三角形OCQの面積が$\sqrt{2}$になるときの$t$の値を求めよ．

数直線上を次の規則で動く点Pがある．

(規則A) \quad コインを投げて，表が出たら正の方向に2進み，裏が出たら負の方向に1進む．

はじめに点Pは原点Oにあるものとし，$n$回コインを投げたときの点Pの座標を$X(n)$で表す．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$X(9)=0$となる確率を求めよ．
(2)点Pが座標$-3$に到達した場合，その後コインを投げても移動しないという条件を(規則A)に追加した新たな規則を(規則B)とする．このとき，$X(9)=0$となる確率を求めよ．
(3)(規則B)のもとで，$X(4)$の期待値を求めよ．

座標平面内において，楕円$\displaystyle x^2+\frac{y^2}{3}=1$の$x \geqq 0,\ y \geqq 0$の部分の曲線を$C$とする．$x_0>0,\ y_0>0$とし，曲線$C$上に点P$(x_0,\ y_0)$をとり，点Pにおける曲線$C$の法線を$\ell$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$\ell$と$x$軸との交点を$(x_1,\ 0)$とするとき，$x_1$を$x_0,\ y_0$を用いて表せ．
(2)$x_0=\cos \theta,\ y_0=\sqrt{3}\sin \theta$と表す．このとき，曲線$C$と直線$\ell$および$x$軸とで囲まれた部分の面積$S(\theta)$を$\theta$を用いて表せ．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．
(3)$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，(2)で求めた面積$S(\theta)$の最大値を求めよ．

2つの関数$f(t)=t \log t$と$g(t)=t^3-9t^2+24t$が与えられているとき，以下の問いに答えよ．

(1)$f(t)$は$t \geqq 1$の範囲で単調に増加することを示せ．
(2)$t \geqq 1$のとき
\[ \left\{
\begin{array}{l}
x=f(t) \\
y=g(t)
\end{array}
\right. \]
と媒介変数表示される関数$y=h(x)$の$x \geqq 0$の範囲における増減を調べて，極大値と極小値を求めよ．
(3)$xy$平面上で，曲線$y=h(x)$，2直線$x=f(2),\ x=f(4)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

放物線$C_1:y=x^2-4x+a$と曲線$C_2:y=6 \log x$とが点Pで接している．ただし，$a$は実数とする．

(1)$a$の値，およびPの座標を求めよ．
(2)Pにおける$C_1,\ C_2$の接線を$\ell$とする．このとき，$\ell$，$x$軸，および$C_2$で囲まれる部分の面積$S$を求めよ．

$x$軸とのなす角が$\displaystyle 2\theta \ \left(0<\theta<\frac{\pi}{4} \right)$で原点Oを通る直線$\ell$と，$x$軸上の定点A$(a,\ 0) \ (a>0)$と$y$軸上の定点B$(0,\ b) \ (b>0)$がある．円$C_1$，円$C_2$は$\ell$と接し，かつ$C_1$は$x$軸とAで接し，$C_2$は$y$軸とBで接するものとする．$C_1$，$C_2$の中心をそれぞれP$_1$，P$_2$とする．ただし，P$_1$，P$_2$は第1象限の点である．

(1)$\triangle$OP$_1$P$_2$の面積は$\displaystyle S=\frac{ab}{\sin 2\theta + \cos 2\theta+1}$であることを示せ．
(2)$\theta$を変数としたとき，$S$の最小値を求めよ．