「直線」について
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私立 愛知学院大学 2011年 第4問$x$の$3$次関数$y=x^3+px^2+qx+r$のグラフは放物線$\displaystyle y=\frac{1}{4}x^2$と相異なる$3$点$\mathrm{A}(4,\ 4)$，$\mathrm{B}(-2,\ 1)$，$\mathrm{C}(x_0,\ y_0)$で交わり，直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{BC}$は直交するとする．
(1)このとき$x_0$と$y_0$を求めなさい．
(2)このとき$p,\ q,\ r$を求めなさい．
(1)このとき$x_0$と$y_0$を求めなさい．
(2)このとき$p,\ q,\ r$を求めなさい．
私立 吉備国際大学 2011年 第2問$\triangle \mathrm{ABC}$で，$\mathrm{AB}=8$，$\mathrm{BC}=7$，$\mathrm{CA}=6$とする．$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とし，$\triangle \mathrm{ABC}$の重心$\mathrm{G}$に対し，直線$\mathrm{AG}$と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{H}$とする．次の問題に答えよ．
(1)$\mathrm{BD}$の長さを求めよ．
(2)$\mathrm{DH}$の長さを求めよ．
(3)$\mathrm{AG}$の長さを求めよ．
(1)$\mathrm{BD}$の長さを求めよ．
(2)$\mathrm{DH}$の長さを求めよ．
(3)$\mathrm{AG}$の長さを求めよ．
公立 首都大学東京 2011年 第3問原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に点$\mathrm{A}(3,\ 0)$を中心とし半径が$r_1$の円$C_1$と，点$\mathrm{B}(1,\ 0)$を中心とし半径が$r_2$の円$C_2$がある．$C_1$上に$y$座標が正である点$\mathrm{P}_1$をとり，$\angle \mathrm{OAP}_1 = \theta$とする．$C_2$上に$y$座標が負である点$\mathrm{P}_2$を，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}_1}$と$\overrightarrow{\mathrm{BP}_2}$が平行であるようにとるとき，以下の問いに答えなさい．
(1)$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$の座標を$r_1,\ r_2,\ \theta$でそれぞれ表しなさい．
(2)$r_1+r_2 < 2$とする．$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$を通る直線が$C_1$と$C_2$の両方に接するとき，$\cos \theta$を求めなさい．
(3)$(2)$の条件のもとで$\triangle \mathrm{OP}_1 \mathrm{P}_2$の面積を$r_1,\ r_2$で表しなさい．
(1)$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$の座標を$r_1,\ r_2,\ \theta$でそれぞれ表しなさい．
(2)$r_1+r_2 < 2$とする．$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$を通る直線が$C_1$と$C_2$の両方に接するとき，$\cos \theta$を求めなさい．
(3)$(2)$の条件のもとで$\triangle \mathrm{OP}_1 \mathrm{P}_2$の面積を$r_1,\ r_2$で表しなさい．
公立 首都大学東京 2011年 第2問座標空間の3点A$(1,\ 2,\ 2)$，B$(2,\ 1,\ 1)$，C$(2,\ 4,\ 2)$を通る平面を$\alpha$とする．点D$(0,\ 2,\ 1)$を通り，ベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ 1,\ 1)$に平行な直線を$\ell_1$とする．また点Dを通り，ベクトル$\overrightarrow{b}=(-1,\ -1,\ 1)$に平行な直線を$\ell_2$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．
(1)$\ell_1$と$\alpha$の交点をEとし，$\ell_2$と$\alpha$の交点をFとする．E，Fの座標を求めなさい．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DF}}$のなす角を$\theta \ (0 \leqq \theta \leqq \pi)$とおくとき，$\cos \theta$の値を求めなさい．
(3)$\triangle$DEFの面積を求めなさい．
(1)$\ell_1$と$\alpha$の交点をEとし，$\ell_2$と$\alpha$の交点をFとする．E，Fの座標を求めなさい．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DF}}$のなす角を$\theta \ (0 \leqq \theta \leqq \pi)$とおくとき，$\cos \theta$の値を求めなさい．
(3)$\triangle$DEFの面積を求めなさい．
公立 大阪市立大学 2011年 第1問$a$は実数で$0 < a < 1$とする．座標平面上の第$1$象限にある曲線$\displaystyle y =\frac{1}{x}$と$2$直線$y = x,\ y = ax$で囲まれる部分$P(a)$の面積を$S(a)$とする．次の問いに答えよ．
(1)$S(a)$を$a$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle 2S(\frac{1}{e}) \leqq S(a) \leqq 2S(\frac{1}{e})+1$となる$a$の範囲を求めよ．
(3)$P(a)$を$x$軸の周りに回転して得られる回転体の体積$V(a)$と$\displaystyle \lim_{a \to 0} V(a)$を求めよ．
(1)$S(a)$を$a$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle 2S(\frac{1}{e}) \leqq S(a) \leqq 2S(\frac{1}{e})+1$となる$a$の範囲を求めよ．
(3)$P(a)$を$x$軸の周りに回転して得られる回転体の体積$V(a)$と$\displaystyle \lim_{a \to 0} V(a)$を求めよ．
公立 高崎経済大学 2011年 第1問以下の各問いに答えよ．
(1)次の方程式を解け．
\[ |x+3| = 2x \]
(2)$a$を素数とする．$2$次方程式$x^2 -ax+66 = 0$の$2$つの解のうち，ただ$1$つのみが素数であるとき，$a$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$A = 60^\circ$，外接円の半径$R$が$7$のとき，$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．
(4)$\log_{10} 2 = 0.3010,\ \log_{10} 3 = 0.4771$とする．$12^{20}$は何桁の整数か．
(5)$15$本のくじの中に当たりくじが$3$本ある．この中から$2$本のくじを同時に引くとき，少なくとも$1$本が当たる確率を求めよ．
(6)次の$3$点が同一直線上にあるように，$m,\ n$の値を定めよ．
\[ \mathrm{A}(2,\ -1,\ -2),\ \mathrm{B}(4,\ 2,\ 5),\ \mathrm{C}(m,\ -4,\ n) \]
(7)次の定積分を求めよ．
\[ \int_{-2}^2 |x-1|(x-1) \, dx \]
(8)四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB} = 5,\ \mathrm{BC} = 3,\ \mathrm{CD} = 7,\ B = 120^\circ,\ D = 60^\circ$とするとき，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$を求めよ．
(1)次の方程式を解け．
\[ |x+3| = 2x \]
(2)$a$を素数とする．$2$次方程式$x^2 -ax+66 = 0$の$2$つの解のうち，ただ$1$つのみが素数であるとき，$a$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$A = 60^\circ$，外接円の半径$R$が$7$のとき，$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．
(4)$\log_{10} 2 = 0.3010,\ \log_{10} 3 = 0.4771$とする．$12^{20}$は何桁の整数か．
(5)$15$本のくじの中に当たりくじが$3$本ある．この中から$2$本のくじを同時に引くとき，少なくとも$1$本が当たる確率を求めよ．
(6)次の$3$点が同一直線上にあるように，$m,\ n$の値を定めよ．
\[ \mathrm{A}(2,\ -1,\ -2),\ \mathrm{B}(4,\ 2,\ 5),\ \mathrm{C}(m,\ -4,\ n) \]
(7)次の定積分を求めよ．
\[ \int_{-2}^2 |x-1|(x-1) \, dx \]
(8)四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB} = 5,\ \mathrm{BC} = 3,\ \mathrm{CD} = 7,\ B = 120^\circ,\ D = 60^\circ$とするとき，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$を求めよ．
公立 高知工科大学 2011年 第2問$\triangle$ABCの頂点を通らない直線$\ell$が，辺AC，辺BCのB方向への延長線，および辺ABと，それぞれ点P，Q，Rで交わり，
\[ \text{AP}:\text{PC}=\alpha:1,\quad \text{CQ}:\text{QB}=\beta:1 \]
であるとする．$\overrightarrow{\mathrm{CA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{CB}}=\overrightarrow{b}$として，次の各問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{CR}}$を$\alpha,\ \beta,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表し，等式$\displaystyle \frac{\text{AP}}{\text{PC}} \cdot \frac{\text{CQ}}{\text{QB}} \cdot \frac{\text{BR}}{\text{RA}}=1$を証明せよ．
(2)$\triangle$QRB，$\triangle$BCR，$\triangle$APRの面積比が$1:2:3$のとき，$\triangle$APRと$\triangle$CPRの面積比を求めよ．
(3)(2)のとき，直線CRと直線AQの交点をDとする．線分の長さの比$\text{AD}:\text{QD}$を求めよ．
\[ \text{AP}:\text{PC}=\alpha:1,\quad \text{CQ}:\text{QB}=\beta:1 \]
であるとする．$\overrightarrow{\mathrm{CA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{CB}}=\overrightarrow{b}$として，次の各問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{CR}}$を$\alpha,\ \beta,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表し，等式$\displaystyle \frac{\text{AP}}{\text{PC}} \cdot \frac{\text{CQ}}{\text{QB}} \cdot \frac{\text{BR}}{\text{RA}}=1$を証明せよ．
(2)$\triangle$QRB，$\triangle$BCR，$\triangle$APRの面積比が$1:2:3$のとき，$\triangle$APRと$\triangle$CPRの面積比を求めよ．
(3)(2)のとき，直線CRと直線AQの交点をDとする．線分の長さの比$\text{AD}:\text{QD}$を求めよ．
公立 広島市立大学 2011年 第3問平面上の三角形ABCの頂点A，B，Cの位置ベクトルをそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)線分ABの垂直二等分線を$\ell$とする．$\ell$上の点Pの位置ベクトルを$\overrightarrow{p}$とするとき，直線$\ell$のベクトル方程式は$\displaystyle \overrightarrow{p} \cdot (\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a})=\frac{1}{2}(|\overrightarrow{b}|^2-|\overrightarrow{a}|^2)$で与えられることを示せ．
(2)(1)の結果を用いて，三角形ABCの3つの辺の垂直二等分線が1点Dで交わることを示せ．
(3)(2)で定まる点Dの位置ベクトル$\overrightarrow{d}$が，$\displaystyle \overrightarrow{d}=\frac{4}{7}\overrightarrow{a}+\frac{4}{7}\overrightarrow{b}-\frac{1}{7}\overrightarrow{c}$を満たすものとする．
(4)辺ABの中点をMとするとき，3点C，M，Dは一直線上にあることを示し，$\text{CM}:\text{MD}$を求めよ．
(5)三角形ABCの三辺の長さの比$\text{BC}:\text{CA}:\text{AB}$を求めよ．
(1)線分ABの垂直二等分線を$\ell$とする．$\ell$上の点Pの位置ベクトルを$\overrightarrow{p}$とするとき，直線$\ell$のベクトル方程式は$\displaystyle \overrightarrow{p} \cdot (\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a})=\frac{1}{2}(|\overrightarrow{b}|^2-|\overrightarrow{a}|^2)$で与えられることを示せ．
(2)(1)の結果を用いて，三角形ABCの3つの辺の垂直二等分線が1点Dで交わることを示せ．
(3)(2)で定まる点Dの位置ベクトル$\overrightarrow{d}$が，$\displaystyle \overrightarrow{d}=\frac{4}{7}\overrightarrow{a}+\frac{4}{7}\overrightarrow{b}-\frac{1}{7}\overrightarrow{c}$を満たすものとする．
(4)辺ABの中点をMとするとき，3点C，M，Dは一直線上にあることを示し，$\text{CM}:\text{MD}$を求めよ．
(5)三角形ABCの三辺の長さの比$\text{BC}:\text{CA}:\text{AB}$を求めよ．
公立 大阪府立大学 2011年 第3問$a$を実数とする．曲線$\displaystyle y=\frac{3}{2}\sqrt{4-x^2}$を$C$，直線$y=ax+3a+1$を$\ell$とする．
(1)直線$\ell$は$a$によらず定点$\mathrm{P}$を通る．$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)$C$と$\ell$が異なる$2$点を共有するときの$a$の値の範囲を求めよ．
(1)直線$\ell$は$a$によらず定点$\mathrm{P}$を通る．$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)$C$と$\ell$が異なる$2$点を共有するときの$a$の値の範囲を求めよ．
公立 大阪府立大学 2011年 第4問$k$を正の定数とする．直線$y=kx$を$\ell$とし，原点Oを通り直線$\ell$に垂直な直線を$m$とする．2次正方行列$A$で表される1次変換を$f$とする．$f$により，直線$\ell$上の点は自分自身に移り，直線$m$上の点は原点に移るとする．
(1)行列$A$を求めよ．
(2)Pを座標平面上の点とする．点Pの$f$による像をQとする．
\mon[(i)] 点Qは直線$\ell$上の点であることを示せ．
\mon[(ii)] 点Pが直線$\ell$上の点でないとき，直線PQと直線$\ell$は垂直であることを示せ．
\mon[(iii)] 3点$(0,\ 0)$，$(1,\ 0)$，$(0,\ 2)$を頂点とする三角形の辺上を点Pが動くとき，点Qの動く範囲を求めよ．
(1)行列$A$を求めよ．
(2)Pを座標平面上の点とする．点Pの$f$による像をQとする．
\mon[(i)] 点Qは直線$\ell$上の点であることを示せ．
\mon[(ii)] 点Pが直線$\ell$上の点でないとき，直線PQと直線$\ell$は垂直であることを示せ．
\mon[(iii)] 3点$(0,\ 0)$，$(1,\ 0)$，$(0,\ 2)$を頂点とする三角形の辺上を点Pが動くとき，点Qの動く範囲を求めよ．