次の各問に答えよ．

(1)放物線$C:y=x^2+ax+b$が$2$直線$L_1:y=-4x+2$，$L_2:y=2x-1$の両方と接している．このとき，$a=[アイ]$，$b=[ウ]$であり，$C$と$L_1$との接点の$x$座標は$[エオ]$，$C$と$L_2$との接点の$x$座標は$[カ]$である．
(2)整数を要素とする$2$つの集合$A=\{2,\ 6,\ 5a-a^2\}$，$B=\{3,\ 4,\ 3a-1,\ a+b\}$がある．$4$が共通部分$A \cap B$に属するとき，$a=[キ]$または$[ク]$（ただし，$[キ]<[ク]$）である．さらに$A \cap B=\{4,\ 6\}$であるとき，$b=[ケ]$であり，和集合$A \cup B=\{2,\ 3,\ 4,\ 6,\ [コサ] \}$である．

$f(x)=x+\sqrt{2} \sin x (0 \leqq x \leqq 2\pi)$とし，曲線$y=f(x)$を$C$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$の極値を求めよ．
(2)曲線$C$と$x$軸および直線$x=2\pi$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを記入しなさい．

(1)角$\theta$が$0^\circ \leqq \theta \leqq {90}^\circ$，$\displaystyle \tan \theta=\frac{4}{3}$を満たすとき，$\displaystyle \tan \frac{\theta}{2}$の値は$[　]$である．
(2)$4$次方程式$2x^4+7x^3+4x^2+7x+2=0$の実数解のうち最大のものは$[　]$である．
(3)数列の極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \{ \sqrt[3]{(n^3-n^2)^2}-2n \sqrt[3]{n^3-n^2}+n^2 \}$の値は$[　]$である．
(4)円$x^2-8x+y^2-8y+30=0$に接する傾き$1$の$2$つの直線を$\ell_1$，$\ell_2$とする．放物線$y=2x^2+3x-2$と$2$直線$\ell_1$，$\ell_2$によって囲まれる図形の面積は$[　]$である．ただし，この図形は原点を含むものとする．
(5)$x$を正の実数とするとき，関数$\displaystyle y=\left( \frac{2}{x} \right)^x$の導関数$\displaystyle \frac{dy}{dx}$は$[　]$である．
(6)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-2 \sin 2x+3 \cos^2 x} \, dx$の値は$[　]$である．
(7)バスケットボールのフリースローを，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$人がそれぞれ$3$回ずつ試みて，成功した回数が多い方が勝ちとする．$\mathrm{A}$の成功率は$\displaystyle \frac{1}{2}$，$\mathrm{B}$の成功率は$\displaystyle \frac{2}{3}$であるとき，$\mathrm{A}$が勝つ確率は$[　]$である．ただし，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の試行は独立な試行と考える．
(8)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7$の数字が書かれた$8$枚のカードがある．カードをもとに戻すことなく，$1$枚ずつ$8$枚すべてを取り出し，左から順に横に一列に並べる．このとき，数字$k$のカードの左側に並んだ$k$より小さい数字のカードの枚数が$k-1$である確率は$[　]$である．ただし，$k$は$1$から$7$までの整数のいずれかとする．

次の問いに答えなさい．

原点を$\mathrm{O}$とする$xy$座標平面上に，$2$点$\mathrm{P}(1,\ 2)$，$\mathrm{Q}(2,\ 0)$がある．$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る$2$次関数のグラフを$C$，また，$C$の$\mathrm{O}$における接線を$\ell$とする．

(1)$C$の方程式は，$y=[　]$である．
(2)$C$と$x$軸で囲まれる図形の面積は$[　]$である．
(3)$\ell$の方程式は，$y=[　]$である．
(4)$\ell$と線分$\mathrm{OP}$のなす角を$\theta$とするとき，$\tan \theta=[　]$である．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．
(5)$C$を$x$軸方向に$a$，$y$軸方向に$b$だけ平行移動して得られる曲線を$C^\prime$とする．$\ell$が$C^\prime$の接線であるとき，$a,\ b$が満たす条件を求めなさい．

次の$[　]$にあてはまる数または式を記入せよ．

$t>0$とする．放物線$y=x^2$上の点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$における接線$\ell_1$と$x$軸との交点$\mathrm{A}$の$x$座標は$[　]$である．原点$\mathrm{O}$および$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{A}$を通る放物線の方程式は$y=[　]x^2-[　]x$であり，この放物線の原点における接線$\ell_2$の方程式は$y=-[　]x$である．$2$直線$\ell_1$，$\ell_2$の交点の座標は$([　],\ -[　])$であり，放物線$y=x^2$と$2$直線$\ell_1$，$\ell_2$で囲まれた図形の面積は$[$*$]$である．
点$\mathrm{P}$を通り，$\ell_1$に垂直な直線$\ell_3$の方程式は$y=-[　]x+[　]$であり，$\ell_3$と$y$軸および曲線$y=x^2 (x \geqq 0)$で囲まれた図形の面積は$[$**$]$である．そして，$[$**$]:[$*$]=6:1$となるのは，$t=[　]$のときである．

四面体$\mathrm{OABC}$について，次の$[　]$にあてはまる正の数を記入せよ．ただし，$[ア]:[イ]$，$[ウ]:[エ]$および$[オ]:[カ]$については，もっとも簡単な整数比で表すこと．

(1)三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$，線分$\mathrm{OG}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{D}$，直線$\mathrm{BD}$と平面$\mathrm{AOC}$の交点を$\mathrm{E}$，直線$\mathrm{OE}$と直線$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OG}}=[　] \overrightarrow{\mathrm{OA}}+[　] \overrightarrow{\mathrm{OB}}+[　] \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
となり，
\[ \overrightarrow{\mathrm{BD}}=[　] \overrightarrow{\mathrm{OA}}-[　] \overrightarrow{\mathrm{OB}}+[　] \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
となる．また，$\mathrm{OE}:\mathrm{EF}=[ア]:[イ]$，$\mathrm{BD}:\mathrm{DE}=[ウ]:[エ]$であり，二つの四面体$\mathrm{ABFO}$と$\mathrm{CEFB}$の体積比は$[オ]:[カ]$である．
(2)$\angle \mathrm{COB}={30}^\circ$，$\angle \mathrm{AOC}={45}^\circ$，$\angle \mathrm{CAO}={60}^\circ$，$\mathrm{OA}=\sqrt{3}+1$，$\mathrm{BC}=\sqrt{2}$とすると，$\mathrm{OC}=[　]$，$\mathrm{CA}=[　]$であり，$\mathrm{OB}$は$[$*$]$または$[$**$]$である．ただし，$[$*$]>[$**$]$とする．

関数$f(x)=x^{-2} \log x (x>0)$について次の問いに答えよ．

(1)$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$の極値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$上の点$(p,\ f(p))$における接線の方程式を求めよ．また，原点を通る接線$\ell$の方程式を求めよ．
(4)$m \neq -1$に対して，不定積分$\displaystyle \int x^m \log x \, dx$を求めよ．また，曲線$y=f(x)$，直線$\ell$，および$x$軸で囲まれる部分の面積$S$を求めよ．

次の文章中の$[　]$に適する式または数値を記入せよ．

(1)$k$は実数とする．$xy$平面において直線
\[ y=-x+1 \cdots\cdots① \]
が放物線
\[ y=-x^2+k \cdots\cdots② \]
に接するとする．このとき$k$の値は$[　]$である．また，放物線$②$と直線$①$が共有点をもたないような$k$の値の範囲は$[$*$]$である．放物線$②$上の点$\mathrm{P}(a,\ -a^2+k)$から直線$①$までの距離$d$は$d=[　]$で表される．$k$が$[$*$]$の範囲にあるとき，放物線$②$上の点$\mathrm{P}(a,\ -a^2+k)$から直線$①$までの距離$d$が最小になるのは$a=[　]$のときで，そのときの距離$d$の値は$[　]$である．
(2)数列$\{a_n\}$において初項$a_1$から第$n$項$a_n$までの和を$S_n$とする．このとき
\[ S_n=2a_n+5n-12 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
が成り立っているとする．数列の初項$a_1$は$S_1$と一致することを使うと，$a_1$の値は$[　]$であることがわかる．第$n$項$a_n$を$a_{n-1}$で表すと$a_n=[　] (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$となるので，$a_n,\ S_n$をそれぞれ$n$の式で表すと$a_n=[　]$，$S_n=[　]$となる．

$xy$平面において，$2$つの放物線$y=x^2$と$y=2x^2-3x+2$の$2$つの共有点のうち$x$座標が小さい方を$\mathrm{A}$，大きい方を$\mathrm{B}$とする．次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{A}$，点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(2)$2$つの放物線と直線$x=\sqrt{3}$で囲まれ，$x \leqq \sqrt{3}$の範囲にある部分の面積を求めよ．
(3)放物線$y=x^2$上の点$(p,\ p^2)$における放物線$y=x^2$の接線の方程式と，放物線$y=2x^2-3x+2$上の点$(q,\ 2q^2-3q+2)$における放物線$y=2x^2-3x+2$の接線の方程式を求めよ．
(4)$(3)$において，$2$つの接線が一致し，$p$が点$\mathrm{A}$の$x$座標より小さいとする．$p$の値を求めよ．

放物線$y=x^2$を$C$とし，直線$y=mx+n$を$\ell$とする．$C$と$\ell$は，異なる$2$点$(\alpha,\ \alpha^2)$，$(\beta,\ \beta^2)$で交わっている．ただし，$\alpha<\beta$とする．

(1)$C$と$\ell$で囲まれた部分の面積を$\alpha,\ \beta$で表せ．
(2)$C$と$\ell$で囲まれた部分の面積が$\displaystyle \frac{9}{2}$であり，かつ$m \geqq 0$，$n \geqq 0$であるような整数の組$(m,\ n)$をすべて求めよ．