曲線$C:y=2x^2-2x$の原点における接線を$\ell$とする．直線$\ell$，直線$x=1$および曲線$C$で囲まれる領域を$D$とする．

(1)直線$\ell$の方程式を求めなさい．
(2)領域$D$と不等式$x+y \leqq 0$の表す領域$E$との共通部分の面積を求めなさい．

直線$\ell_1:y=mx+3 (m>0)$が，点$\mathrm{A}(5,\ 3)$を中心とする円$C_1$に接している．その接点を$\mathrm{P}$とする．直線$\ell_1$と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$を通る直線$\ell_2$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}$とする．

(1)円$C_1$の半径$r$を$m$を用いて表しなさい．
(2)円$C_1$が$x$軸と異なる$2$点で交わるような$m$の値の範囲を求めなさい．
(3)線分$\mathrm{QR}$の中点$\mathrm{S}$の座標を求めなさい．
(4)$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る円$C_2$の中心と円$C_1$の中心との距離を$d$とする．$d$の最小値とそのときの$m$の値を求めなさい．

$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおくと，$|\overrightarrow{a}|=3$，$|\overrightarrow{b}|=2$，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{AOB}=\frac{5}{6}$が成り立っている．$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{P}$とし，半直線$\mathrm{AB}$上に$\mathrm{AB}:\mathrm{AH}=1:s (s>0)$となる点$\mathrm{H}$をとる．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．
(2)直線$\mathrm{OH}$と直線$\mathrm{AB}$が垂直に交わるような$s$の値を求めよ．
(3)$(2)$のとき，直線$\mathrm{OH}$と直線$\mathrm{PB}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．

実数の定数（パラメータ）$k$に対して，放物線$y=x^2$と直線$y=x+k$，$x=-1$，$x=2$で囲まれた図形の面積の最小値と，そのときの定数$k$を求めよ．

$a$を$0$でない実数とする．$2$つの異なる曲線
\[ C_1: y=x^2-2x+5,\quad C_2: y=ax^2+(1-3a)x+\frac{13}{8}\]
は，ある共有点$\mathrm{P}$で共通な接線$\ell$をもつ．さらに，曲線$C_2$上の点$\mathrm{Q}$において$\ell$以外の接線を，$\ell$と点$\mathrm{R}$で直交するように引く．このとき$a$の値は$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タ]}$であり，共通接線$\ell$の方程式は$[チ]x-[ツ]y+[テ]=0$である．また，曲線$C_2$は$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を$1:[ト]$に分ける．ただし，$[タ]$から$[ト]$はできる限り小さい自然数で答えること．

次の$[　]$にあてはまる数または数式を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(1)平面上の$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上にあり，
\[ 3 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+7 \overrightarrow{\mathrm{OB}}+5 \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たしている．このとき線分$\mathrm{AB}$の長さは[ア]である．
(2)$xy$平面上の曲線$y=e^x$と$y$軸および直線$y=e$で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は[イ]である．
(3)碁石を$n$個一列に並べる並べ方のうち，黒石が先頭で白石どうしは隣り合わないような並べ方の総数を$a_n$とする．ここで，$a_1=1$，$a_2=2$である．
(4)立方体の各辺の中点は全部で$12$個ある．頂点がすべてこれら$12$個の点のうちのどれかであるような正多角形は全部で[エ]個ある．

$xy$平面上にある$3$つの半直線
\[ y=0 (x \geqq 0),\quad y=x\tan \theta (x \geqq 0),\quad y=-\sqrt{3}x (x \leqq 0) \]
と，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$r (r \geqq 1)$の円が交わる点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とする．ただし$\displaystyle\frac{\pi}{6} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{3}$である．

(1)四角形$\mathrm{OABC}$の面積が半径$1$の円に内接する正六角形の面積の$\displaystyle\frac{1}{3}$に等しいとき，$r^2$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}r^2\,d\theta$を求めよ．

四面体$\mathrm{OABC}$において$\mathrm{OA}=\mathrm{BC}=2$，$\mathrm{OB}=3$，$\mathrm{OC}=\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AC}=2\sqrt{6}$である．
また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}= \overrightarrow{\mathrm{OC}}$とする．以下の問に答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c},\ \overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}$を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{OAB}$を含む平面を$H$とする．$H$上の点$\mathrm{P}$で直線$\mathrm{PC}$と$H$が直交するものをとる．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}$となる$x,\ y$を求めよ．
(3)平面$H$を直線$\mathrm{OA}$，$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BO}$で右図のように$7$つの \\
領域ア，イ，ウ，エ，オ，カ，キにわける．点$\mathrm{P}$はどの \\
領域に入るか答えよ．
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(4)辺$\mathrm{AB}$で$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{OAB}$のなす角は鋭角になるか，直角になるか，それとも鈍角になるかを判定せよ．ただし，$1$辺を共有する$2$つの三角形のなす角とは，共有する辺に直交する平面での$2$つの三角形の切り口のなす角のことである．

正の定数$a,\ b,\ c$を用いて，$\triangle$ABCの内部の点Pは
\[ a\,\overrightarrow{\text{PA}} +b\, \overrightarrow{\text{PB}} +c\, \overrightarrow{\text{PC}} = \overrightarrow{0} \]
と表すことができる．ただし，$\overrightarrow{0}$は零ベクトルである．\\
\quad 次の問に答えよ．

(1)直線APと辺BCの交点をQとする．

(2)線分の長さの比$\text{BQ}:\text{QC}=t:1-t$とおくと
\[ \overrightarrow{\text{PQ}} = [\maru{1]} \overrightarrow{\text{PA}} + [\maru{2]} \overrightarrow{\text{PB}} \]
\quad と表せる．\maru{1},\ \maru{2}にあてはまる$t$の式を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(3)線分の長さの比$\text{BQ}:\text{QC}$を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(4)線分の長さの比$\text{AP}:\text{PQ}$を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．


(5)面積の比$\triangle \text{PBC}: \triangle \text{PCA}: \triangle \text{PAB}$を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．

次の各設問の$[13]$から$[16]$までの空欄を埋めよ．

$2$つの放物線$C_1: y=x^2+3x+2$，$C_2:y=-x^2+4x+2$と直線$\ell:y=ax+2$（$a$は定数）を考える．直線$\ell$は，放物線$C_1,\ C_2$とそれぞれ異なる$2$点で交わるとする．ここで，$C_1$と$\ell$で囲まれた部分の面積と$C_2$と$\ell$で囲まれた部分の面積の和を$S$とする．

(1)放物線$C_1$と直線$\ell$の交点の$x$座標は$[13]$である．
(2)$a=5$のとき，$S=[14]$である．
(3)$a=[15]$のとき$S$は最小となり，そのときの$S$は$[16]$である．