曲線$y=\log x$の接線は常にこの曲線の上側にあることを利用して，次の問いに答えよ．以下，$k$は自然数とする．

(1)点$\mathrm{A}_k(k,\ 0)$を通り$x$軸に垂直な直線と曲線$y=\log x$との交点を${\mathrm{A}_k}^\prime$とし，${\mathrm{A}_k}^\prime$におけるこの曲線の接線を$\ell_k$とする．また，$k \geqq 2$のとき，$\displaystyle \mathrm{B}_k \left( k-\frac{1}{2},\ 0 \right)$，$\displaystyle \mathrm{C}_k \left( k+\frac{1}{2},\ 0 \right)$を通り$x$軸に垂直な直線と接線$\ell_k$との交点をそれぞれ${\mathrm{B}_k}^\prime$，${\mathrm{C}_k}^\prime$とする．四角形$\mathrm{B}_k \mathrm{C}_k {\mathrm{C}_k}^\prime {\mathrm{B}_k}^\prime$の面積を求めよ．
(2)次の2つの値の大小を比較せよ．

(i) $\log k$と$\displaystyle \int_{k-\frac{1}{2}}^{k+\frac{1}{2}} \log x \, dx \quad$（ただし，$k \geqq 2$）
(ii) $\displaystyle \frac{\log k+\log (k+1)}{2}$と$\displaystyle \int_k^{k+1} \log x \, dx \quad$（ただし，$k \geqq 1$）

(3)$\displaystyle a_n=\log (n!)-\frac{1}{2}\log n$とおくと，2以上の自然数$n$について，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \int_{\frac{3}{2}}^n \log x \, dx<a_n<\int_1^n \log x \, dx \]
(4)2以上の自然数$n$について
\[ \left\{
\begin{array}{l}
U_n=\left( n+\displaystyle\frac{1}{2} \right) \log n-n+\displaystyle\frac{3}{2} \left( 1-\log \displaystyle\frac{3}{2} \right) \\
V_n=\left( n+\displaystyle\frac{1}{2} \right) \log n-n+1
\end{array}
\right. \]
とおくとき，次の不等式を示せ．
\[ U_n<\log (n!)<V_n \]

放物線$C:y=x^2$上の点$\mathrm{P}_1$の座標を$(1,\ 1)$とする．定数$k \ (0<k<1)$に対して，$\mathrm{P}_1$と点$(0,\ k)$を通る直線と$C$との交点を$\mathrm{P}_2$とする．ただし，$\mathrm{P}_2$は$\mathrm{P}_1$とは異なる点とする．$\mathrm{P}_2$と点$(0,\ k^2)$を通る直線と$C$との交点を$\mathrm{P}_3$とする．ただし，$\mathrm{P}_3$は$\mathrm{P}_2$とは異なる点とする．以下同様にして，自然数$n$に対し，$\mathrm{P}_n$と点$(0,\ k^n)$を通る直線と$C$との交点を$\mathrm{P}_{n+1}$とする．ただし，$\mathrm{P}_{n+1}$は$\mathrm{P}_n$とは異なる点とする．

(1)$\mathrm{P}_{2n-1}$および$\mathrm{P}_{2n}$の座標を$n$と$k$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}$の長さを$l_n$とする．${l_{2n-1}}^2$および${l_{2n}}^2$を$n$と$k$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle k=\frac{1}{2}$のとき，無限級数${l_1}^2+{l_2}^2+\cdots +{l_n}^2+\cdots$の和を求めよ．

$2$次曲線$C$が媒介変数$\theta$を用いて，
\[ x=3+5 \cos \theta,\quad y=2+3 \sin \theta \quad (0 \leqq \theta \leqq 2\pi) \]
と表されている．このとき，次の問いに答えよ．

(1)曲線$C$の方程式を$x,\ y$を用いて表せ．また，$C$を座標平面上に図示せよ．
(2)曲線$C$上の点$\mathrm{P}(3+5 \cos \theta,\ 2+3 \sin \theta)$における$C$の接線$\ell$の方程式は，
\[ \frac{\cos \theta}{5}(x-3)+\frac{\sin \theta}{3}(y-2)=1 \]
となることを示せ．
(3)曲線$C$の焦点を$\mathrm{F}_1$，$\mathrm{F}_2$とする．$i=1,\ 2$に対し，$\mathrm{F}_i$を通り，接線$\ell$に垂直な直線$m_i$の方程式を求めよ．
(4)$i=1,\ 2$に対し，直線$m_i$と$\ell$との交点を$\mathrm{Q}_i$とする．点$\mathrm{O}^\prime(3,\ 2)$とするとき，線分$\mathrm{O}^\prime \mathrm{Q}_i$の長さを求めよ．
(5)$\mathrm{P}$が曲線$C$を一周するとき，線分$\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2$の長さの最大値，最小値，およびそのときの点$\mathrm{P}$をそれぞれ求めよ．

弧度法で表された$\theta$に対し，$M(\theta)=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\displaystyle\frac{1}{2}\sin \theta \\
2 \sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$とし，楕円$\displaystyle x^2+\frac{y^2}{4}=1$を$C$とする．

(1)$M(\theta)$で表される$1$次変換により$C$上の点は$C$上の点に移ることを示せ．
(2)弧度法で表された$\alpha,\ \beta$は$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{4}$，$\displaystyle 0<\beta<\frac{\pi}{4}$を満たしているとし，$M(\alpha)$で表される$1$次変換により点$(\cos \beta,\ 2 \sin \beta)$が移される点を$\mathrm{A}$とする．$\mathrm{A}$を通り$y$軸に平行な直線と$C$で囲まれる部分のうち，原点$\mathrm{O}$を含まない方の面積$S$を求めよ．

放物線$C:y=x^2$と直線$L:y=x-1$がある．$L$上の点$\mathrm{A}(a,\ a-1)$から$C$に引いた$2$本の接線の接点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$C$上の点$(t,\ t^2)$における接線の方程式を$y=mx+k$とするとき，$m,\ k$を$t$の式で表せ．
(2)$\alpha+\beta$および$\alpha\beta$を$a$の式で表せ．
(3)放物線$C$と$2$本の接線で囲まれた図形の面積を$S(a)$とするとき，$\displaystyle \frac{S(a)}{\beta-\alpha}$を$a$の式で表せ．

$\triangle \mathrm{ABC}$内に
\[ 6 \overrightarrow{\mathrm{PA}}+3 \overrightarrow{\mathrm{PB}}+2 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
をみたす点$\mathrm{P}$があるとき，次の問に答えよ．ただし，比は最も簡単な整数の比で表せ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=m \overrightarrow{\mathrm{AB}}+ n \overrightarrow{\mathrm{AC}}$とするとき，$m,\ n$の値を求めよ．
(2)直線$\mathrm{AP}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，比$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}$および$\mathrm{AP}:\mathrm{PD}$を求めよ．
(3)直線$\mathrm{BP}$と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{E}$とするとき，比$\mathrm{AE}:\mathrm{EC}$を求めよ．
(4)面積の比$\triangle \mathrm{PDC}:\triangle \mathrm{PCE}$を求めよ．

数直線上の点$\mathrm{P}$は，さいころを投げて出た目が偶数であれば，正の方向に$1$だけ進み，奇数であれば負の方向に$1$だけ進む．いま，点$\mathrm{P}$は原点にある．

(1)さいころを$8$回投げたとき，点$\mathrm{P}$が原点にある確率を求めよ．
(2)さいころを$8$回投げて，点$\mathrm{P}$が初めて原点に戻ってくる確率を求めよ．
(3)さいころを$8$回投げて，点$\mathrm{P}$が原点に戻り，しかも戻ってくるのが$2$度目である確率を求めよ．

$3$次関数$f(x)$を$f(x)=x^3-4x$で定める．このとき，次の問に答えよ．

(1)関数$f(x)$の極値を求め，$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)点$(1,\ 4)$を通る直線と$y=|f(x)|$のグラフが，$x>0$の範囲において$2$個の共有点をもつという．このような直線をすべて求めよ．ただし，直線の傾きは負とする．

表と裏が同じ確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で出る$2$つの硬貨$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$がある．$xy$平面上の点$\mathrm{P}$がこの$2$つの硬貨$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を同時に投げた結果によって移動する．点$\mathrm{P}$は，硬貨$\mathrm{A}$を投げて表が出たら$x$軸方向に$+1$移動し，裏が出たら$x$軸方向に$-1$移動する．また，硬貨$\mathrm{B}$を投げて表が出たら$y$軸方向に$+1$移動し，裏が出たら$y$軸方向に$-1$移動する．点$\mathrm{P}$は最初に原点にあるものとし，このような操作をくり返すとき，次の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$が$4$回目の操作で初めて原点にもどる確率を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$が$6$回目の操作で直線$y=4-x$の上にある確率を求めよ．

$a$を定数とする．放物線$C:y=x^2+a$上の点$(t,\ t^2+a) (t>0)$における接線$\ell$が原点を通るとする．直線$\ell$に関して$y$軸と対称な直線を$m$とする．

(1)$a$を$t$を用いて表せ．
(2)$y$軸と直線$\ell$のなす角を$\displaystyle \theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とするとき，$\tan 2\theta$を$t$を用いて表せ．
(3)直線$m$の方程式を$t$を用いて表せ．
(4)放物線$C$と直線$m$が接するとき，$t$の値を求めよ．
(5)$(4)$のとき，放物線$C$を直線$\ell$に関して対称移動した曲線を$C_1$，直線$m$に関して対称移動した曲線を$C_2$とする．$C,\ C_1,\ C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．