$k=1,\ 2$に対して放物線$y=x^2-kx+1$を$C_k$で表す．点A$(1,\ 1)$での$C_1$の接線に，点Aで直交している直線を$\ell$とし，$\ell$と$C_2$の交点のうち$x$座標が正となる点をBとする．次の各問に答えよ．

(1)点Bの座標を求めよ．
(2)曲線$C_1,\ C_2$と線分ABで囲まれた図形の面積を求めよ．

曲線$C_1$は媒介変数$t$を用いて
\[ x=t-\sin t,\quad y=1-\cos t \quad (0 \leqq t \leqq 2\pi) \]
と表されるとする．また，曲線$C_2$は
\[ x=t-\sin t,\quad y=1+\cos t \quad (0 \leqq t \leqq 2\pi) \]
と表されるとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$C_1$と$C_2$は直線$y=1$に関して対称であることを示せ．
(2)$C_1$と$C_2$の交点の座標を求めよ．
(3)$C_1$と$C_2$で囲まれた部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

数直線上の動点Aがはじめ原点にある．動点Aは1秒ごとに数直線上を正の向きまたは負の向きにそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$の確率で指定された長さを移動するものとする．$n$秒後に動点Aが原点に戻る確率を$p_n$とする．ただし，$n$は自然数とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)動点Aが1秒ごとに正の向きに1または負の向きに1移動するとき，$p_1,\ p_2$を求めよ．
(2)動点Aが1秒ごとに正の向きに1または負の向きに1移動するとき，$p_n$を求めよ．
(3)動点Aが1秒ごとに正の向きに3または負の向きに1移動するとき，$p_n$を求めよ．

$f(x)=e^{-x^2} \ (x \geqq 0)$とする．以下の各問に答えよ．

(1)$x \geqq 0$に対して，不等式$e^x>x$および$\displaystyle e^x>\frac{x^2}{2}$が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$および$\displaystyle \lim_{t \to +0} t \log \frac{1}{t}=0$を示せ．
(3)$f(x)$は減少関数であることを示せ．また，$y = f(x)$の逆関数$x = g(y)$を求めよ．
(4)$a$を$0<a<1$を満たす実数とする．$y$軸，$y＝ f(x)$のグラフおよび直線$y = a$で囲まれた図形を$y$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積$V(a)$を求めよ．
(5)(4)で求めた$V(a)$に対し$\displaystyle \lim_{a \to +0}V(a)$を求めよ．

点Aを$(-2,\ 0)$，点Eを$(2,\ 0)$とする．3つの点B，C，Dは，$\text{AB}=\text{BC}=\text{CD}=\text{DE}$を満たし，かつ，直線ABと直線CDが直角に交わり，直線BCと直線DEが直角に交わる．点B，C，Dの位置を調べるために，$\overrightarrow{\mathrm{BS}}=\overrightarrow{\mathrm{CD}}$となるような点Sをとる．点Sの$y$座標を$s$とする．以下の各問に答えよ．

(1)ASとESの長さを比較し，点Sが満たす条件を求めよ．
(2)点Bが直線ASの上側にある場合を考える．$\overrightarrow{\mathrm{SB}}$と点Bの座標を$s$で表せ．$s$が変化するときに点Bが描く図形は何か．
(3)点Dが直線ESの上側にある場合を考える．$\overrightarrow{\mathrm{SD}}$と点Dの座標を$s$で表せ．$s$が変化するときに点Dが描く図形は何か．
(4)(2)かつ(3)の場合に点Cの座標を$s$で表せ．$s$が変化するときに点Cが描く図形は何か．
(5)(2)かつ(3)の場合で，5つの点A，B，C，D，Eが同一円周上ににあるような点B，C，Dの位置の組み合わせをすべて求めよ．

$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=2,\ \mathrm{OB}=3,\ \mathrm{AB}=k$とする．

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を$k$を用いて表し，$k$の値の範囲を求めよ．
(2)点$\mathrm{A}$を通り直線$\mathrm{OB}$に垂直な直線と直線$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{P}$としたとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を満たす$s$を$k$を用いて表せ．また，線分$\mathrm{AP}$の長さを$k$を用いて表せ．
(3)辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{Q}$とし，直線$\mathrm{OQ}$と直線$\mathrm{AP}$の交点を$\mathrm{R}$とする．$k=4$のとき線分$\mathrm{OR}$の長さを求めよ．

放物線$y=x^2+2x$を$C_1$，放物線$y=x^2-2x+2$を$C_2$とする．

(1)$C_1$と$C_2$を$y=(x-p)^2+q$の形に変形せよ．また，$C_1$と$C_2$の交点の座標を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$の両方に接する直線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$C_1$と$C_2$および$\ell$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$2$次正方行列$A$は点$(1,\ 2)$を点$(1,\ 2)$へ移し，点$(3,\ 3)$を点$(9,\ 12)$へ移す．

(1)$A$を求めよ．
(2)行列$P=\left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
a & b
\end{array} \right)$および$B=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & m
\end{array} \right)$は$AP=PB$を満たす．$P$が逆行列を持つときの$a,\ b,\ m$の値および逆行列$P^{-1}$を求めよ．
(3)自然数$n$について，$A^n$を$n$を用いて表せ．
(4)点$\mathrm{C}(1,\ 3)$が$A^n$により移動する点を$\mathrm{C}_n$と表す．$\mathrm{C}_n$は$n$によらない直線$\ell$上の点であることを示せ．また$\ell$の方程式を求めよ．

$xy$平面上に直線$\ell:y=(1-\sqrt{3})x+1+\sqrt{3}$と曲線$C:y=-x^2+3x$がある．次の問いに答えよ．

(1)直線$\ell$と曲線$C$の交点の座標を求めよ．
(2)連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
y \geqq (1-\sqrt{3})x+1+\sqrt{3} \\
y \leqq -x^2+3x
\end{array}
\right. \]
の表す領域を$D$とする．

\mon[(i)] 領域$D$を$xy$平面上に図示し，$D$の面積を求めよ．
\mon[(ii)] 点$(x,\ y)$が領域$D$を動くとき，$\displaystyle \frac{y}{x}$の最大値と最小値を求めよ．

座標平面において，点$(2,\ 0)$を中心とする半径$2$の円を$C$とする．点$(1,\ 0)$を通る直線$\ell_1$と円$C$との交点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とし，点$(3,\ 0)$を通る直線$\ell_2$と円$C$との交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．さらに，$\ell_1$と$\ell_2$は垂直に交わるとする．ただし，$\ell_2$は座標軸とは一致しない．$\ell_1$の傾きを$k$で表す．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\ell_1$と$\ell_2$の交点$\mathrm{D}$は円$C$の内部にあることを示せ．
(2)弦$\mathrm{AB}$の長さを$k$を用いて表せ．
(3)弦$\mathrm{PQ}$の長さを$k$を用いて表せ．
(4)四角形$\mathrm{APBQ}$の面積の最大値を求めよ．