$xy$平面上の原点をOとし，放物線$y=k-x^2$を$C$とする．ただし，$k$は$\displaystyle \frac{1}{2}$より大きい定数とする．$C$上の点P$(t,\ k-t^2)$が$t \geqq 0$の範囲で動くときOPの長さが最小となるPをP$_0$とおく．

(1)P$_0$の座標を求めよ．
(2)OとP$_0$を通る直線と，P$_0$における$C$の接線が直交することを示せ．
(3)OとP$_0$を通る直線の傾きが1のとき，$k$の値を求めよ．
(4)OとP$_0$を通る直線の傾きが1のとき，$xy$平面の第1象限にあって，$x$軸，$y$軸および放物線$C$に接する円のうち小さい方の半径を求めよ．

原点から曲線$C:y=e^{2x}$へひいた接線と$C$との接点をP$(a,\ b)$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)点Pの座標$(a,\ b)$を求めよ．
(2)点$(0,\ 1)$から点Pまで曲線$C$に沿って点Qが動く．$C$の点Qにおける接線を$\ell$，点Pから$x$軸に下ろした垂線と$\ell$との交点をHとし，Qの$x$座標を$t$とする．$0 \leqq x \leqq a$の範囲で曲線$C$より下，かつ，直線$\ell$より上の部分の面積を$S(t)$とするとき，$0<t<a$における$S(t)$の最小値と，そのときの$t$の値を求めよ．

曲線$C:y=2x^2-2x$の原点における接線を$\ell$とする．直線$\ell$，直線$x=1$および曲線$C$で囲まれる領域を$D$とする．

(1)直線$\ell$の方程式を求めなさい．
(2)領域$D$と不等式$x+y \leqq 0$の表す領域$E$との共通部分の面積を求めなさい．

3点O，A，Bがあり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおくと，$\displaystyle |\overrightarrow{a}|=3,\ |\overrightarrow{b}|=2,\ \cos \angle \text{AOB}=\frac{5}{6}$が成り立っている．OAの中点をPとし，半直線AB上に$\text{AB}:\text{AH}=1:s \ (s>0)$となる点Hをとる．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．
(2)直線OHと直線ABが垂直に交わるような$s$の値を求めよ．
(3)(2)のとき，直線OHと直線PBの交点をQとする．$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．

直線$\ell_1:y=mx+3 \ (m>0)$が，点A$(5,\ 3)$を中心とする円$C_1$に接している．その接点をPとする．直線$\ell_1$と$y$軸との交点をQ，2点A，Pを通る直線$\ell_2$と$x$軸との交点をRとする．

(1)円$C_1$の半径$r$を$m$を用いて表しなさい．
(2)円$C_1$が$x$軸と異なる2点で交わるような$m$の値の範囲を求めなさい．
(3)線分QRの中点Sの座標を求めなさい．
(4)3点P，Q，Rを通る円$C_2$の中心と円$C_1$の中心との距離を$d$とする．$d$の最小値とそのときの$m$の値を求めなさい．

$xyz$空間の3点A$(5,\ 0,\ 0)$，B$(4,\ 1,\ 0)$，C$(5,\ 0,\ \sqrt{2})$が定める平面を$T$，$T$上にあって点Aを中心として半径$\sqrt{2}$をもつ円を$U$とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)点Pは円$U$の周上にある．$\angle \text{PAB}=\theta \ (0 \leqq \theta <2\pi)$とするとき，Pの座標$(u,\ v,\ r)$を$\theta$を用いて表せ．
(2)2点D$(10,\ 0,\ 0)$，Pを通る直線が$yz$平面と交わる点をQ$(0,\ Y,\ Z)$とする．$Y$と$Z$を$\theta$を用いて表せ．
(3)(2)の$Y,\ Z$から$\theta$を消去して，Qの軌跡が楕円になることを示せ．また，その楕円の概形を$yz$平面上に図示せよ．

中心が$(2,\ 0,\ 1)$，半径が$2\sqrt{5}$の球面が$yz$平面と交わってできる円を$C$とする．次の問いに答えよ．

(1)$C$の中心の座標と半径を求めよ．
(2)点Pは$C$上を動き，点Qは$xy$平面上の直線$x=y$上を動くとする．線分PQの長さの最小値，およびそのときのP，Qの座標を求めよ．

放物線$y=x^2+4x$を$C$とする．$C$上の$x$座標が$p$である点における接線を$\ell$とする．ただし，$p$は正の定数とする．以下の問に答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$\ell$と$y$軸との交点を通る$C$の接線を$m$とする．ただし，$m$と$\ell$は異なるとする．$m$の方程式を求めよ．
(3)放物線$C$と接線$\ell$および$y$軸とで囲まれた部分の面積を$S$とし，放物線$C$と接線$m$および$y$軸とで囲まれた部分の面積を$T$とする．$\displaystyle \frac{T}{S}$の値は$p$によらず一定となることを示せ．

下の図のように，$xy$平面上に，$x$軸に平行な道，$y$軸に平行な道，直線$y=-x$に平行な道があるものとする．これらの道を通って，原点Oから点A$(4,\ 4)$まで行くとき，以下の各場合に道順の総数を求めよ．
\setlength\unitlength{1truecm}

（図は省略）



(1)最短経路で行く場合．
(2)点B$(2,\ 2.5)$を通らずに，最短経路で行く場合．
(3)点C$(-1,\ 2)$を通り，道のりが$8+\sqrt{2}$になる場合．
(4)道のりが$8+\sqrt{2}$になる場合．
(5)$0 \leqq x \leqq 4,\ 0 \leqq y \leqq 4$の部分だけを通り，道のりが$8+\sqrt{2}$になる場合．

下の図のように，$xy$平面上に，$x$軸に平行な道，$y$軸に平行な道，直線$y=-x$に平行な道があるものとする．これらの道を通って，原点Oから点A$(4,\ 4)$まで行くとき，以下の各場合に道順の総数を求めよ．
\setlength\unitlength{1truecm}

（図は省略）



(1)最短経路で行く場合．
(2)点B$(2,\ 2.5)$を通らずに，最短経路で行く場合．
(3)点C$(-1,\ 2)$を通り，道のりが$8+\sqrt{2}$になる場合．
(4)道のりが$8+\sqrt{2}$になる場合．
(5)$0 \leqq x \leqq 4,\ 0 \leqq y \leqq 4$の部分だけを通り，道のりが$8+\sqrt{2}$になる場合．