放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2-1$上にない点$\mathrm{P}(a,\ b)$をとる．放物線$C$上の点$\mathrm{Q}$に対し直線$\mathrm{PQ}$が点$\mathrm{Q}$での$C$の接線と垂直に交わるとき，直線$\mathrm{PQ}$を$\mathrm{P}$から$C$への垂線という．点$\mathrm{P}(a,\ b)$から$C$へ$3$本の異なる垂線が引けるための$a,\ b$に関する条件を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$a$を実数とするとき，関数
\[ f(x) = (x-a)(e^x+e^a)-2(e^x-e^a) \]
について，$x>a$ならば，$f(x) > 0$であることを示しなさい．
(2)曲線$y = e^x$上で，$x$座標が$\displaystyle a,\ b,\ \log \frac{e^a +e^b}{2} (a < b)$である点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とする．点$\mathrm{C}$における曲線$y = e^x$の接線の傾きは，直線$\mathrm{AB}$の傾きより大きいことを示しなさい．

$f(x) = x^3-3x^2 +x$とし，方程式$y = f(x)$が定める曲線を$K$とする．

(1)直線$y = 2x-3$と曲線$K$の$3$つの交点の座標を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$3$つの交点を$\mathrm{A}(a,\ f(a))$，$\mathrm{B}(b,\ f(b))$，$\mathrm{C}(c,\ f(c)) (a < b < c)$とし，曲線$K$上に点$\mathrm{P}(p,\ f(p))$をとる．$p$が$b < p < c$を満たすとき，三角形$\mathrm{BPC}$の面積$S$を$p$を用いて表せ．
(3)$(2)$で求めた面積$S$の最大値とそのときの$p$の値を求めよ．

実数を成分とする行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$を考える．座標平面上の2点P$(x,\ y)$，Q$(u,\ v)$について等式
\[ \biggl( \begin{array}{c}
u \\
v
\end{array} \biggr) = A \biggl( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \biggr) \]
が成り立つとき，行列$A$により点Pは点Qに移るという． \\
\quad 点$(1,\ 3)$は行列$A$により点$(10,\ 10)$に移り，さらに等式
\[ A^2-7A+10E=O \]
が成り立つものとする．ただし，$E=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr),\ O=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \biggr)$である．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)行列$A$により点$(10,\ 10)$が移る点の座標を求めよ．
(2)実数$a,\ b,\ c,\ d$の値を求めよ．
(3)次の条件$(*)$を満たす直線$\ell$の方程式を求めよ． \\
$(*)$ \ 直線$\ell$上のすべての点が行列$A$により$\ell$上の点に移る．

実数を成分とする行列$A=\biggl( \begin{array}{rr}
a & -b \\
b & c
\end{array} \biggr)$は$A^2-A+E=O$をみたすとする．ただし，$E$は2次の単位行列，$O$は2次の零行列を表し，$b>0$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$b$と$c$を，それぞれ$a$を用いて表せ．
(2)2つのベクトル$A \biggl( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \biggr)$と$A \biggl( \begin{array}{c}
1 \\
-1
\end{array} \biggr)$が垂直であるとき，行列$A$を求めよ．
(3)$A$を(2)で求めた行列とする．1個のさいころを2回投げて，出た目を順に$\ell,\ m$とする．このときベクトル$P_0,\ P_1,\ P_2,\ P_3$を次のように定める．
\begin{itemize}
$P_0=\biggl( \begin{array}{c}
0 \\
0
\end{array} \biggr), P_1=\biggl( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \biggr)$
$P_2=P_1+A^{\ell}(P_1-P_0)$
$P_3=P_2+A^m(P_2-P_1)$
\end{itemize}
このとき，$P_3=\biggl( \begin{array}{c}
0 \\
0
\end{array} \biggr)$となる確率を求めよ．

$xy$平面上の円$C_1:x^2+y^2+ax+by+28=0$は，点$\mathrm{A}(2,\ 8)$と点$\mathrm{B}(7,\ 7)$を通る．このとき，次の問いに答えよ．

(1)円$C_1$の中心の座標と半径を求めよ．
(2)円$C_1$上の点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$における接線をそれぞれ$\ell,\ m$とするとき，$2$直線$\ell,\ m$の交点の座標を求めよ．
(3)$x$の$2$次関数のグラフ$C_2$は$(2)$で求めた交点を頂点とし，点$\mathrm{A}$を通る．このとき$C_2$と$x$軸との交点の座標を求めよ．

$2$つの放物線$C_0:y=-x^2$と$C_1:y=(x-1)^2$について，次の問いに答えよ．

(1)$C_0$上の点$(a,\ -a^2)$における接線の方程式を求めよ．
(2)$C_1$上に点$\mathrm{P}(p,\ (p-1)^2)$を任意にとるとき，点$\mathrm{P}$を通り$C_0$に接する直線は$2$本あることを示せ．
(3)(2)の$2$本の直線が$C_0$と接する点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とし，$2$直線$\mathrm{AP}$，$\mathrm{BP}$及び放物線$C_0$で囲まれた部分の面積を$S$とするとき，$S^2$が最小となる$p$の値と，そのときの$S^2$の値を求めよ．

平面上に$\triangle$ABCと点Pがある．次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=k\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\ell \overrightarrow{\mathrm{AC}}$とする．点Pが$\triangle$ABCの周および内部にあるための条件を，$k,\ \ell$を用いて表せ．
(2)$5\overrightarrow{\mathrm{AP}}+11\overrightarrow{\mathrm{CP}}=2\overrightarrow{\mathrm{CB}}$が成り立つとき，(1)の$k,\ \ell$の値を求めよ．
(3)$5\overrightarrow{\mathrm{AP}}+11\overrightarrow{\mathrm{CP}}=2\overrightarrow{\mathrm{CB}}$が成り立つとき，面積比$\triangle \text{PAB}:\triangle \text{PBC}:\triangle \text{PCA}$を求めよ．

平面上に$\triangle \mathrm{ABC}$と点$\mathrm{P}$がある．次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=k\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\ell \overrightarrow{\mathrm{AC}}$とする．点$\mathrm{P}$が$\triangle \mathrm{ABC}$の周および内部にあるための条件を，$k,\ \ell$を用いて表せ．
(2)$5\overrightarrow{\mathrm{AP}}+11\overrightarrow{\mathrm{CP}}=2\overrightarrow{\mathrm{CB}}$が成り立つとき，(1)の$k,\ \ell$の値を求めよ．
(3)$5\overrightarrow{\mathrm{AP}}+11\overrightarrow{\mathrm{CP}}=2\overrightarrow{\mathrm{CB}}$が成り立つとき，面積比$\triangle \mathrm{PAB}:\triangle \mathrm{PBC}:\triangle \mathrm{PCA}$を求めよ．

1辺の長さが1の正四面体OABCにおいて，3辺OA，OB，AC上にそれぞれ点D，E，Fを$\displaystyle \text{OD}=\frac{1}{2},\ \text{OE}=t \ (0<t<1),\ \text{AF}=\frac{2}{3}$となるようにとる．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{DE}},\ \overrightarrow{\mathrm{DF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ t$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{DE}} \perp \overrightarrow{\mathrm{DF}}$のとき，$t$の値を求めよ．
(3)3点D，E，Fが定める平面が直線BCと交わる点をGとするとき，線分BGの長さを$t$を用いて表せ．