$2$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{P}(p,\ q,\ r)$を通る直線を$\ell$とする．ただし$p^2+q^2+r^2=1$とする．直線$\ell$に$4$点
\[ \mathrm{A}(1,\ 1,\ -1),\quad \mathrm{B}(1,\ -1,\ 1),\quad \mathrm{C}(-1,\ 1,\ 1),\quad \mathrm{D}(-1,\ -1,\ -1) \]
から，それぞれ垂線$\mathrm{AA}^\prime$，$\mathrm{BB}^\prime$，$\mathrm{CC}^\prime$，$\mathrm{DD}^\prime$を下ろすとき
\[ (\mathrm{OA}^\prime)^2=(p+[ヌ]q+[ネ]r)^2 \]
であり
\[ (\mathrm{OA}^\prime)^2+(\mathrm{OB}^\prime)^2+(\mathrm{OC}^\prime)^2+(\mathrm{OD}^\prime)^2=[ノ] \]
である．

曲線$C:y=x^2$上の点を$\mathrm{P}$とする．ただし$\mathrm{P}$の$x$座標は正とする．点$\mathrm{P}$における$C$の接線を$\ell$，点$\mathrm{P}$を通り$\ell$に垂直な直線を$m$とする．直線$m$と曲線$C$が$\mathrm{P}$とは異なる交点をもつとき，その点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{P}$が曲線$C$上を動くとき，以下の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{Q}$における$C$の接線を$n$とし，$\ell$と$n$との交点を$\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{R}$の座標を$(p,\ q)$とするとき
\[ q=\frac{[キ]}{[ク]p^2}+\frac{[ケ]}{[コ]} \]
が成り立つ．
(2)曲線$C$と線分$\mathrm{PQ}$で囲まれる部分の面積の最小値は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$であり，そのときの点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標は
\[ \mathrm{P} \left( \frac{[ス]}{[セ]},\ \frac{[ソ]}{[タ]} \right),\quad \mathrm{Q} \left( \frac{[チ]}{[ツ]},\ \frac{[テ]}{[ト]} \right) \]
である．

次の$[　]$に適する数または式を記入せよ．

(1)$0<\theta<\pi$とし，$t=\cos 2\theta$とおく．$\displaystyle \frac{\sin 3\theta}{\sin \theta}$と$\displaystyle \frac{\sin 5\theta}{\sin \theta}$をそれぞれ$t$を用いて表すと$[ア]$と$[イ]$となる．$\sin 5\theta=0$となる$\theta$のうち，$0<\theta<\pi$において最小のものの値は$[ウ]$である．したがって，$\displaystyle \cos \frac{2\pi}{5}$の値は$[エ]$である．
(2)$1$から$5$までの異なる整数が$1$つずつ書いてある$5$枚のカードを左から右へ順に並べたとき，カードに書かれた整数を左から$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$とおく．並べ方は全部で$[オ]$通りである．そのうち$a_1<a_2<a_3$かつ$a_3>a_4>a_5$となる並べ方は$[カ]$通りである．また，$a_1 \neq 1$かつ$a_2 \neq 2$となる並べ方は$[キ]$通りである．
(3)$4$次関数$y=3x^4-8x^3$は，$x=[ク]$のとき最小値$[ケ]$をとる．また直線$\ell$がこの$4$次関数が表す曲線と$2$点で接するとき，$2$つの接点のうち$x$座標が大きい方の$x$座標の値は$[コ]$である．

関数$f(x)=|x^2-1|-1$について，次の問に答えよ．

(1)関数$f(x)$の最小値，およびそのときの$x$の値を求めよ．また，曲線$y=f(x)$と$x$軸の共有点の座標を求めよ．
(2)不等式$\displaystyle |x^2-1|<\frac{1}{2}$を解け．
(3)曲線$y=f(x)$上の点$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ f \left( \frac{1}{2} \right) \right)$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(4)曲線$y=f(x)$と接線$\ell$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

平面上の$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\angle \mathrm{OAB}$の二等分線と線分$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{P}$，$\angle \mathrm{OBA}$の二等分線と線分$\mathrm{OA}$との交点を$\mathrm{Q}$とおく．直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{BQ}$との交点を$\mathrm{R}$とおく．$\mathrm{OA}=x$，$\mathrm{OB}=y$，$\mathrm{AB}=1$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と平行で向きが同じである単位ベクトルをそれぞれ$\overrightarrow{u}$，$\overrightarrow{v}$とおく．このとき次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$x,\ y,\ \overrightarrow{v}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$x,\ y,\ \overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$を用いて表せ．
(3)直線$\mathrm{OR}$と直線$\mathrm{AB}$が垂直であるとき，直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{PQ}$が平行となることを示せ．
(4)$2 \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=-1$であり，$x,\ y$が変化するとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$の大きさが最大となるときの$x,\ y$の値と$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$の大きさをそれぞれ求めよ．

三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とおく．また，$\mathrm{C}$を通り$\mathrm{AD}$と平行な直線と辺$\mathrm{BA}$の延長との交点を$\mathrm{E}$とおく．

ベクトルを$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{c}$，辺の長さを$\mathrm{AC}=b$，$\mathrm{AB}=c$，角を$\angle \mathrm{BAC}=\theta$として，次の問に答えよ．


(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CE}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ b,\ c$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \cos \frac{\theta}{2}=p$とおく．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CE}}$の絶対値$f=|\overrightarrow{\mathrm{CE|}}$を$b,\ c,\ p$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{BCE}$の重心を$\mathrm{G}$とおく．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BG}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ b,\ c$を用いて表せ．
(4)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$が互いに直交するとき，$\cos \theta$を$b,\ c$を用いて表せ．

座標平面上の$2$直線$mx-y+1=0$，$x+my-m-2=0$の交点を$\mathrm{P}$とする．ここで，$m$は実数とする．

(1)$m$の値が変化するとき，点$\mathrm{P}$が描く軌跡の方程式は$[$1$]$である．ただし，点$(0,\ 1)$を含まない．
(2)$m$の値が$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} \leqq m \leqq 1$のとき，点$\mathrm{P}$が描く曲線の長さは$[$2$]$である．

$x$の$3$次式$f(x)$が等式
\[ 4f(x)-xf^\prime(x)=3x^3-4x^2-6x+4 \]
を満たすとき，次の問に答えよ．

(1)このとき，$f(x)=[$37$]x^3-[$38$]x^2-[$39$]x+[$40$]$である．

(2)曲線$y=f(x)$を$C$とし，$C$上の点$(0,\ [$40$])$で$C$と接する接線を$\ell$とするとき，$\ell$の方程式は$y=-[$41$]x+[$42$]$であり，この$\ell$は，点$(0,\ [$40$])$以外の$C$上の点$\displaystyle \left( \frac{[$43$]}{[$44$]},\ -\frac{[$45$]}{[$46$]} \right)$において$C$と交わる．

(3)$C$と$\ell$とで囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[$47$]}{[$48$][$49$]}$である．

平面上で，曲線$\displaystyle C:y=\frac{2}{x^2+1}$を考える．

(1)$C$は変曲点を$2$つもつ．その$2$点の座標を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$2$点での$C$の接線を，それぞれ$L_1,\ L_2$とする．$2$直線$L_1,\ L_2$と$C$とで囲まれた部分の面積を求めよ．

曲線$C:y=x^3-x$上に，原点とは異なる点$\mathrm{P}$がある．$\mathrm{P}$での$C$の接線を$\ell$とし，$\ell$と$C$の交点で$\mathrm{P}$以外のものを$\mathrm{Q}$とする．さらに，原点を通り$\ell$に平行な直線を$m$とする．

(1)$m$と$C$は相異なる$3$点で交わることを示せ．
(2)$m$と$C$の原点以外の交点を$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$とするとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{RS}}$を求めよ．