次の問いに答えよ．

(1)$xy$平面上の3点O$(0,\ 0)$，A$(2,\ 1)$，B$(1,\ 2)$を通る円の方程式を求めよ．
(2)$t$が実数全体を動くとき，$xyz$空間内の点$(t +2,\ t +2,\ t)$がつくる直線を$\ell$とする．3点O$(0,\ 0,\ 0)$，A$^\prime (2,\ 1,\ 0)$，B$^\prime (1,\ 2,\ 0)$を通り，中心をC$(a,\ b,\ c)$とする球面$S$が直線$\ell$と共有点をもつとき，$a,\ b,\ c$の満たす条件を求めよ．

曲線$C:(x-2)^2+y^2=1$と直線$\ell: y=(\tan \theta)x$を考える．ただし$\displaystyle 0 \leqq \theta < \frac{\pi}{2}$とする．$f(\theta)$を次の(ア)，(イ)，(ウ)のように定める．

\mon[(ア)] $C$と$\ell$の共有点の個数が1のとき，$f(\theta)$は共有点と原点の距離とする．
\mon[(イ)] $C$と$\ell$の共有点の個数が2以上のとき，$f(\theta)$は共有点と原点の距離のうち最も小さいものとする．
\mon[(ウ)] $C$と$\ell$が共有点を持たないとき，$f(\theta)=0$とする．

さらに，$C$と$\ell$が共有点を持つ$\theta$の最大値を$\alpha$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\alpha$を求めよ．
(2)$C$と$\ell$が共有点を持つとき，$f(\theta)$を求めよ．
(3)次の積分を計算せよ．
\[ \int_0^\alpha \{f(\theta)\}^2 \, d\theta \]

三角形OABの辺ABを$1:2$に内分する点をCとする．動点Dは$\overrightarrow{\mathrm{OD}} = x \overrightarrow{\mathrm{OA}} \ (x \geqq 1)$を満たすとし，直線CDと直線OBの交点をEとする．

(1)実数$y$を$\overrightarrow{\mathrm{OE}} = y \overrightarrow{\mathrm{OB}}$で定めるとき，次の等式が成り立つことを示せ．
\[ \frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 3 \]
(2)三角形OABの面積を$S$，三角形ODEの面積を$T$とするとき，$\displaystyle \frac{S}{T}$の最大値と，そのときの$x$を求めよ．

放物線$y = x^2$ の$2$本の接線$\ell,\ m$は垂直であるとする．

(1)$\ell$の接点の座標が$(a,\ a^2)$で与えられるとき，$\ell,\ m$の交点の座標を$a$を用いて表せ．
(2)$\ell,\ m$が$y$軸に関して対称なとき，$\ell,\ m$および放物線$y = x^2$で囲まれる部分の面積を求めよ．

$a$を実数とする．円$C$は点$(a,\ -a)$で直線$y = -x$を接線にもち，点$(0,\ 1)$を通るものとする．$C$の中心を $\mathrm{P}(X,\ Y)$として，以下の問いに答えよ．

(1)$X,\ Y$を$a$を用いて表せ．
(2)$a$が動くときの点$\mathrm{P}$の軌跡と直線$y = 1$で囲まれる図形の面積を求めよ．

平面上の異なる$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は同一直線上にないものとする．この平面上の点$\mathrm{P}$が
\[ 2|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^2 - \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}} + 2 \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}} - \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}} = 0 \]
を満たすとき，次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{P}$の軌跡が円となることを示せ．
(2)$(1)$の円の中心を$\mathrm{C}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$で表せ．
(3)$\mathrm{O}$との距離が最小となる$(1)$の円周上の点を$\mathrm{P}_0$とする．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が条件
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|^2+5\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}+4|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2 = 0 \]
を満たすとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP_0}} = s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$となる$s,\ t$の値を求めよ．

$f(x) = e^{-x^2}$とする．曲線$y = f(x)$上の点A$(a,\ f(a))$における接線を$\ell$，原点$\mathrm{O}$を通り$\ell$に垂直な直線を$\ell^\prime$とし，$\ell$と$\ell^\prime$との交点を$\mathrm{P}$とする．

(1)線分$\mathrm{OP}$の長さを求めよ．
(2)$\ell$と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$とし，$\angle \mathrm{POQ}$を$\theta \ (0 \leqq \theta \leqq \pi)$とする．$\sin \theta$を$a$を用いて表せ．
(3)$(2)$で求めた$\sin \theta$を最大にする$a$の値と，そのときの$\sin \theta$の値を求めよ．

実数の組$(p,\ q)$に対し，$f(x) = (x-p)^2 +q$とおく．

(1)放物線$y = f(x)$が点$(0,\ 1)$を通り，しかも直線$y = x$の$x > 0$の部分と接するような実数の組$(p,\ q)$と接点の座標を求めよ．
(2)実数の組$(p_1,\ q_1)$，$(p_2,\ q_2)$に対して，$f_1(x) = (x-p_1)^2 + q_1$および$f_2(x) =(x-p_2)^2 +q_2$とおく．実数$\alpha,\ \beta \ $(ただし$\alpha < \beta$)に対して
\[ f_1(\alpha) < f_2(\alpha) \quad \text{かつ} \quad f_1(\beta) < f_2(\beta) \]
であるならば，区間$\alpha \leqq x \leqq \beta$において不等式$f_1(x) < f_2(x)$がつねに成り立つことを示せ．
(3)長方形$R : 0 \leqq x \leqq 1,\ 0 \leqq y \leqq 2$を考える．また，4点P$_0(0,\ 1)$，P$_1(0,\ 0)$，P$_2(1,\ 1)$，P$_3(1,\ 0)$をこの順に線分で結んで得られる折れ線を$L$とする．実数の組$(p,\ q)$を，放物線$y = f(x)$と折れ線$L$に共有点がないようなすべての組にわたって動かすとき，$R$の点のうちで放物線$y = f(x)$が通過する点全体の集合を$T$とする．$R$から$T$を除いた領域$S$を座標平面上に図示し，その面積を求めよ．

座標平面上に点P$(0,\ 0)$，M$(\sqrt{3},\ 1)$をとる．点Mを中心とし，$x$軸に接するように円を描き，接点をAとおく．Pより円にもう1本の接線を引き接点をBとする．円に2線分PAとPBをつけ加えた図形を$x$軸に接したまますべることなく$x$軸の正の方向にころがし，線分PBが$x$軸に重なるまで移動させる．次の問いに答えよ．

(1)移動中の円の中心の座標を$(\sqrt{3}+t,\ 1)$とする．$t$の取りうる値の範囲を求めよ．
(2)点Pの軌跡を$C$とする．曲線$C$の接線$\ell$の傾きが$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$のとき，直線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)曲線$C$と(2)で求めた接線$\ell$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

座標平面上に点$\mathrm{A}(2 \cos \theta,\ 2 \sin \theta)$，$\displaystyle \mathrm{B} \left( \frac{4}{3},\ 0 \right)$，$\mathrm{C}(\cos \theta,\ -\sin \theta)$がある．ただし，$0 < \theta < \pi$とする．次の問いに答えよ．

(1)直線$\mathrm{AC}$と$x$軸の交点を$\mathrm{P}$とする．$\mathrm{P}$の座標を$\theta$で表せ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S(\theta)$を求めよ．
(3)面積$S(\theta)$の最大値とそのときの$\theta$の値を求めよ．