座標平面において，点P$(0,\ 1)$を中心とする半径1の円を$C$とする．$a$を$0<a<1$を満たす実数とし，直線$y=a(x+1)$と$C$との交点をQ，Rとする．

(1)$\triangle$PQRの面積$S(a)$を求めよ．
(2)$a$が$0<a<1$の範囲を動くとき，$S(a)$が最大となる$a$を求めよ．

実数の組$(p,\ q)$に対し，$f(x) = (x-p)^2+q$とおく．

(1)放物線$y=f(x)$が点$(0,\ 1)$を通り，しかも直線$y=x$の$x>0$の部分と接するような実数の組$(p,\ q)$と接点の座標を求めよ．
(2)実数の組$(p_1,\ q_1),\ (p_2,\ q_2)$に対して，$f_1(x)=(x-p_1)^2+q_1$および$f_2(x)=(x-p_2)^2+q_2$とおく．実数$\alpha,\ \beta \quad (\text{ただし}\alpha < \beta)$に対して
\[ f_1(\alpha)<f_2(\alpha) \quad \text{かつ} f_1(\beta) < f_2(\beta) \]
であるならば，区間$\alpha \leqq x \leqq \beta$において不等式$f_1(x) < f_2(x)$がつねに成り立つことを示せ．
(3)長方形$R: 0 \leqq x \leqq 1,\ 0 \leqq y \leqq 2$を考える．また，4点P$_0(0,\ 1)$，P$_1(0,\ 0)$，P$_2(1,\ 1)$，P$_3(1,\ 0)$をこの順に線分で結んで得られる折れ線を$L$とする．実数の組$(p,\ q)$を，放物線$y=f(x)$と折れ線$L$に共有点がないようなすべての組にわたって動かすとき，$R$の点のうちで放物線$y=f(x)$が通過する点全体の集合を$T$とする．$R$から$T$を除いた領域$S$を座標平面上に図示し，その面積を求めよ．

曲線$y=\sqrt{x}$上の点$\mathrm{P}(t,\ \sqrt{t})$から直線$y=x$へ垂線を引き，交点を$\mathrm{H}$とする．ただし，$t>1$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{H}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)$x \geqq 1$の範囲において，曲線$y=\sqrt{x}$と直線$y=x$および線分$\mathrm{PH}$とで囲まれた図形の面積を$S_1$とするとき，$S_1$を$t$を用いて表せ．
(3)曲線$y=\sqrt{x}$と直線$y=x$で囲まれた図形の面積を$S_2$とすると，$S_1=S_2$であるとき，$t$の値を求めよ．

1辺の長さが1の正四面体OABCにおいて，3辺OA，OB，AC上にそれぞれ点D，E，Fを$\displaystyle \text{OD}=\frac{1}{2},\ \text{OE} = t \ (0 < t < 1),\ \text{AF} =\frac{2}{3}$となるようにとる．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{DE}},\ \overrightarrow{\mathrm{DF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ t$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{DE}} \perp \overrightarrow{\mathrm{DF}}$のとき，$t$の値を求めよ．
(3)3点D，E，Fが定める平面が直線BCと交わる点をGとするとき，線分BGの長さを$t$を用いて表せ．

$xy$平面上の曲線$y=x^2$を$C$とする．点P$_0(2,\ 4)$における$C$の接線が直線$y=2$と交わる点をQ$_1(a_1,\ 2)$とする．次に，点P$_1(a_1,\ {a_1}^2)$における$C$の接線が直線$y=a_1$と交わる点をQ$_2(a_2,\ a_1)$とする．以下同様に，点$(a_n,\ {a_n}^2)$をP$_n$とし，P$_n$における$C$の接線が$y=a_n$と交わる点をQ$_{n+1}(a_{n+1},\ a_n)$として，P$_2,\ \text{Q}_3,\ \text{P}_3,\ \text{Q}_4,\ \cdots$を定める．次の問いに答えよ．

(1)$a_1$を求めよ．
(2)$a_n$を$n$の式で表せ．
(3)線分P$_n$Q$_{n+1}$，線分P$_{n+1}$Q$_{n+1}$，および$C$で囲まれる部分の面積を$n$の式で表せ．

座標空間内で4点O$(0,\ 0,\ 0),\ \text{A}(1,\ 0,\ 0),\ \text{B}(0,\ 1,\ 0),\ \text{C}(0,\ 0,\ 1)$を頂点とする四面体OABCを考える．線分ABを$m:(1-m)$に内分する点をP，線分OPを$s:(1-s)$に内分する点をQ，線分CPを$u:(1-u)$に内分する点をRとする．また，線分ABの中点をHとし，点Rを通り線分OPに垂直に交わる直線と線分OPとの交点をIとする．$\angle \text{OQC}$と$\angle \text{IQR}$が等しいとき，次の問いに答えよ．

(1)点Rの座標を$m,\ u$を用いて表せ．
(2)$s$を$u$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{HR}}=a\frac{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}{|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|}+b \frac{\overrightarrow{\mathrm{HC}}}{|\overrightarrow{\mathrm{HC}}|}$と表すとき，この$a,\ b$を用いて$s,\ m$を表せ．

$a$を正の実数，$b$と$c$を実数とし，$2$点$\mathrm{P}(-1,\ 3)$，$\mathrm{Q}(1,\ 4)$を通る放物線$y=ax^2+bx+c$を$C$とおく．$C$上の$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$における$C$の接線をそれぞれ$\ell_1,\ \ell_2$とする．

(1)$b$の値を求め，$c$を$a$で表せ．
(2)$\ell_1$と$\ell_2$の交点の座標を$a$で表せ．
(3)放物線$C$と接線$\ell_1,\ \ell_2$で囲まれる図形の面積が$1$に等しくなるような$a$の値を求めよ．

$a,\ b$を実数とし，$xy$平面上の$3$直線を
\[ \ell:x+y=0,\quad \ell_1:ax+y=2a+2,\quad \ell_2:bx+y=2b+2 \]
で定める．

(1)直線$\ell_1$は$a$の値によらない$1$点$\mathrm{P}$を通る．$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)$\ell,\ \ell_1,\ \ell_2$によって三角形がつくられるための$a,\ b$の条件を求めよ．
(3)$a,\ b$は$(2)$で求めた条件を満たすものとする．点$(1,\ 1)$が$(2)$の三角形の内部にあるような$a,\ b$の範囲を求め，それを$ab$平面に図示せよ．

次の問いに答えよ．

(1)グラフが$3$点$(-2,\ 46),\ (3,\ -4),\ (5,\ 4)$を通る$2$次関数$y=f(x)$を求めよ．
(2)(1)の$2$次関数$y=f(x)$のグラフと直線$y=-2x+6$の$2$つの交点の座標を求めよ．
(3)(2)の$2$つの交点の$x$座標をそれぞれ$p,\ q$とする．ただし，$p<q$とする．$a$を定数とするとき，$2$次関数$y=-x^2+2ax+3-a^2$の$p \leqq x \leqq q$における最大値を求めよ．

平面上の相異なる3点O，A，Bに対して，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とし，$\displaystyle \overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{q}=\frac{-\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}}{4}$とする．また，$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{\mathrm{OP}},\ \overrightarrow{q}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$であるような2点P，Qをとる．$|\overrightarrow{p}|=4,\ |\overrightarrow{q}|=1$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$のとき，内積$\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q}$を求めよ．
(2)2点A，Bを通る直線と，2点P，Qを通る直線が直交するとき，内積$\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q}$を求めよ．
(3)$\triangle$OABの面積が最大になるとき，$\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{q}$のなす角$\theta$を求めよ．