以下の問の$[$64$]$～$[$73$]$に当てはまる適切な数値またはマイナス符号（$-$）をマークしなさい．

$xy$平面上に原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする円$C$と，$2$つの直線$\ell_1$，$\ell_2$がある．ただし，$a>1$とする．


円$C$ \quad\!\! ：$x^2+y^2=1$
直線$\ell_1$：$\displaystyle x+\sqrt{2}y=\frac{\sqrt{3}}{a}$
直線$\ell_2$：$\displaystyle x+\sqrt{2}y=a \sqrt{3}$


円$C$と直線$\ell_1$は異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わり，それぞれの$x$座標を$x_\mathrm{A}$，$x_\mathrm{B}$とおくと，$x_\mathrm{A}<x_\mathrm{B}$である．また，直線$\ell_2$上に，$x$座標および$y$座標が共に正であるような点$\mathrm{P}$をとる．三角形$\mathrm{APB}$において，$\angle \mathrm{APB}=\theta$とすると，$\displaystyle \cos \theta=\frac{1}{a} \sqrt{a^2-1}$であり，四角形$\mathrm{OAPB}$の面積は$2 \sqrt{6}$である．

(1)線分$\mathrm{AB}$の長さは$\displaystyle \frac{[$64$] \sqrt{[$65$]}}{[$66$]}$である．

(2)$\angle \mathrm{OBP}=\frac{[$67$]}{[$68$]} \pi+\frac{[$69$]}{[$70$]} \theta$である．

(3)三角形$\mathrm{OBP}$の面積は$\displaystyle \frac{[$71$] \sqrt{[$72$]}}{[$73$]}$である．

次の文章内の$[ア]$～$[コ]$に適当な式または数値を入れよ．ただし，$[ク]$～$[コ]$はそれぞれ$3$つの自然数の組である．

(1)$xy$平面上で，点$(-1,\ 0)$を通る傾き$t$の直線を考える．この直線が円$x^2+y^2=1$と点$(x,\ y)$（ただし，$x>0$，$y>0$）で交わるとき，$y$は$t$と$x$で，
\[ y=[ア] (ⅰ) \]
のように表される．この式を円の方程式$x^2+y^2=1$に代入して，$x$に関する$2$次方程式$[イ]=0$を得る．
この方程式を解いて，
\[ x=[ウ] (ⅱ) \]
を得る．また，式$(ⅰ)$から，
\[ y=[エ] (ⅲ) \]
となる．ただし，$t$の範囲は$0<t<[オ]$である．
(2)円$x^2+y^2=1$上の点$(x,\ y)$（ただし，$x>0$，$y>0$）の各座標がともに有理数であるとき，式$(ⅰ)$より$t$は有理数である．よって，$m,\ n$（ただし，$m>n$）を互いに素な自然数として$\displaystyle t=\frac{n}{m}$と表せば，式$(ⅱ)$，$(ⅲ)$より点$(x,\ y)$は
\[ x=\frac{[カ]}{m^2+n^2},\quad y=\frac{[キ]}{m^2+n^2} \]
と表される．
(3)等式$a^2+b^2=c^2$が成り立つような$3$つの自然数の組$(a,\ b,\ c)$（ただし，$a<b$）で，$a,\ b,\ c$の最大公約数が$1$，かつ$a<9$である組は
$(a,\ b,\ c)=(3,\ 4,\ 5),\ [ク],\ [ケ],\ [コ]$の$4$つである．

半径$1$の円$C$上にある点$\mathrm{P}$を通る直線$\ell$が，円$C$と点$\mathrm{P}$以外で交わる点を$\mathrm{Q}$とする．また，点$\mathrm{P}$で円$C$と接する直線を$m$とし，点$\mathrm{Q}$を通り直線$m$と垂直に交わる直線を$n$とする．さらに，直線$m$と直線$n$との交点を$\mathrm{R}$，円$C$と直線$n$とが点$\mathrm{Q}$以外で交わる点を$\mathrm{S}$とする．$\mathrm{PR}:\mathrm{RQ}=1:2$，$\displaystyle \mathrm{PQ}=\frac{4 \sqrt{5}}{5}$のとき，次の問いに答えよ．

(1)線分$\mathrm{RQ}$の長さを求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{PSQ}$の面積を求めよ．
(3)直線$\ell$上に点$\mathrm{T}$をとる．そして，この点$\mathrm{T}$は，円$C$の外部に位置しているものとし，線分$\mathrm{TQ}$の長さは$\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{4}$とする．また，点$\mathrm{T}$から円$C$に接線を引き，その接点を$\mathrm{U}$とする．このとき，線分$\mathrm{TU}$の長さを求めよ．

$xy$平面上の円$C:x^2+(y-2)^2=1$において，$C$上の点$\mathrm{N}(0,\ 3)$に対し，$\mathrm{P}$は$C$上の$\mathrm{N}$と異なる点とする．また，直線$\mathrm{NP}$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，以下の設問に答えよ．

(1)実数$t$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{NQ}}=t \overrightarrow{\mathrm{NP}}$と表したとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$t$，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を用いて表せ．ここで$\mathrm{O}$は原点を表す．
(2)$\mathrm{P}$の座標を$(a,\ b)$とおくとき，$\mathrm{Q}$の$x$座標を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{Q}$の座標が$(\sqrt{3},\ 0)$のとき，$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

直線$y=2x-1$を$\ell$とする．$\ell$に関して点$(2,\ 1)$と対称な点の座標を求めよ．$\ell$に関して直線$y=-2x+5$と対称な直線の方程式を求めよ．

さいころを投げて，$1$か$5$の目が出たとき，点$\mathrm{P}$は原点から数直線上の正の方向に$2$進み，他の目が出たとき負の方向に$1$進むとする．

(1)さいころを続けて$3$回投げたとき，点$\mathrm{P}$が正の方向$3$の位置にある確率を求めなさい．
(2)さいころを続けて$3$回投げたとき，点$\mathrm{P}$がどの位置にある確率が最も高いか，その位置と確率を求めなさい．

図のように，円$x^2+y^2=m^2$（ただし，$m \geqq 1$）と，直線$y=x$および直線$y=-x+1$の交点をそれぞれ，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$とする．次の値を$m$を用いて求めなさい．

(1)$\cos \angle \mathrm{AOB}$
(2)$\mathrm{BD}$の長さ
(3)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$
（図は省略）

放物線$y=-x^2+1$と，直線$y=ax+a$に囲まれた図形の面積$S$を求めなさい．

$a>0$とする．放物線$y=ax^2+bx+c$は$2$点$(1,\ 1)$，$(3,\ 2)$を通り，この放物線と$2$点$(1,\ 1)$，$(3,\ 2)$を通る直線で囲まれた図形の面積は$4$になるという．このとき
\[ a=[ア],\quad b=\frac{[イ][ウ][エ]}{[オ]},\quad c=\frac{[カ][キ]}{[ク]} \]
である．

$xy$平面上の点$(1,\ 4)$を通り，また，曲線$y=f(x)=x^3+3x^2+x+7$と$1$点で接し，他の$1$点で交わる直線の方程式をすべて求めなさい．