放物線$y=-x^2+1$上の点$(\alpha,\ -\alpha^2+1)$における接線を$\ell_1$とし，点$(\beta,\ -\beta^2+1)$における接線を$\ell_2$とする．ただし，$\alpha<0<\beta$で$\beta-\alpha=c$（一定）とする．

(1)接線$\ell_1$と$y$軸および放物線で囲まれる部分の面積$S_1$を$\alpha$で表せ．
(2)接線$\ell_2$と$y$軸および放物線で囲まれる部分の面積$S_2$を$\beta$で表せ．
(3)面積の和$S_1+S_2$が最小となるときの$\alpha,\ \beta$とそのときの最小値を$c$で表せ．

$f(x)=x^2-4x+7$とし，放物線$y=f(x)$上の$2$点$\mathrm{A}(t,\ f(t))$，$\mathrm{B}(t+a,\ f(t+a)) (a>0)$における$y=f(x)$の接線をそれぞれ$\ell_\mathrm{A}$，$\ell_\mathrm{B}$とする．また$\ell_\mathrm{A}$と$\ell_\mathrm{B}$の交点を$\mathrm{P}$とする．

(1)点$\mathrm{P}$の座標は
\[ \left( t+\frac{a}{[ア]},\ t^{[イ]}+(a-[ウ])t-[エ]a+[オ] \right) \]
である．このことから，$t$が変化するとき，点$\mathrm{P}$は曲線
\[ y=x^{[カ]}-[キ]x-\frac{a^{[ク]}}{[ケ]}+[コ] \]
上を動く．
(2)$\mathrm{AB}=\mathrm{AP}$となる実数$t$が存在するための必要十分条件は$\displaystyle a \geqq \frac{[サ]}{[シ]}$である．

次の問いに答えなさい．

(1)自然数$m,\ n$に対し，命題「$m^2+n^2$が偶数ならば，$m+n$は偶数である」が真ならば「真」と，偽ならば反例を$[$\mathrm{A]$}$に記入しなさい．
(2)$2^x=5^y=100$のとき，$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=[$\mathrm{B]$}$となる．
(3)$xy$座標平面において，円$x^2+y^2=3$と直線$x+y=1$の$2$つの交点を結ぶ線分の長さは，$[$\mathrm{C]$}$である．
(4)数直線上を動く点$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$にある．表と裏が等しい確率で出るコインを投げ，表が出ると正方向に$1$だけ進み，裏が出ると負方向に$1$だけ進むことを繰り返す．コインを$10$回投げるとき，$\mathrm{P}$の座標が$-6$となる確率は，$[$\mathrm{D]$}$である．
(5)方程式$x^3-3x^2-9x-a=0$が異なる$3$つの実数解を持つとき，定数$a$が満たさなければならない条件を$[あ]$で求めなさい．

次の問いに答えなさい．

原点を$\mathrm{O}$とする$xy$座標平面に，点$\mathrm{A}(3,\ 4)$がある．$\mathrm{O}$を中心に反時計回りに$\displaystyle \frac{1}{4}\pi$だけ回転することで，$\mathrm{A}$は点$\mathrm{B}$に移る．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$x$軸の正の向きがなす角を$\alpha$とすると，$\tan \alpha=[$\mathrm{J]$}$である．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の成分は$[$\mathrm{K]$}$である．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=-2 \sqrt{2} \, \overrightarrow{\mathrm{OB}}$となる点$\mathrm{C}$を定め，$\mathrm{OA}$と$\mathrm{OC}$を$2$辺とする平行四辺形$\mathrm{OAPC}$を考える．また，$\mathrm{O}$と$\mathrm{P}$を通る直線を$\ell$とする．

(i) $\ell$の方程式は，$y=[$\mathrm{L]$}$である．
(ii) $3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{C}$を通る放物線と$\ell$で囲まれる部分の面積は，$[$\mathrm{M]$}$である．
(iii) $\mathrm{AP}$を$(1-t):t$に内分する点を$\mathrm{D}$，$\mathrm{CD}$と$\ell$の交点を$\mathrm{E}$とするとき，$\mathrm{DE}:\mathrm{EC}$を$[う]$で求めなさい．

次の空所を埋めよ．

(1)$\log_{10}a=\log_{100}a^r$，$\log_{10}3+2 \log_{100}4-\log_{10}6=\log_{100}M$と表すとき，$r=[ア]$であり，$M=[イ]$である．
(2)$a$を正の実数とするとき，$x=i(a+i)^3$が実数となる$a$の値は$[ウ]$であり，このとき$x$の値は$[エ]$である．ただし，$i^2=-1$とする．
(3)初項から第$3$項までの和が$21$，初項から第$6$項までの和が$189$である等比数列の初項は$[オ]$であり，公比は$[カ]$である．
(4)点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$を通る直線$\ell$が，中心$(1,\ 0)$，半径$1$の円と$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わっているとき，$\mathrm{AP} \cdot \mathrm{AQ}=[キ]$である．さらに，$\mathrm{PQ}=1$のとき，直線$\ell$と$x$軸のなす角を$\theta$とすると，$\cos \theta=[ク]$である．ただし，$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．

$f(x)=x^2-4x+7$とし，放物線$y=f(x)$上の$2$点$\mathrm{A}(t,\ f(t))$，$\mathrm{B}(t+a,\ f(t+a)) (a>0)$における$y=f(x)$の接線をそれぞれ$\ell_\mathrm{A}$，$\ell_\mathrm{B}$とする．また$\ell_\mathrm{A}$と$\ell_\mathrm{B}$の交点を$\mathrm{P}$とする．

(1)点$\mathrm{P}$の座標は
\[ \left( t+\frac{a}{[ア]},\ t^{[イ]}+(a-[ウ])t-[エ]a+[オ] \right) \]
である．このことから，$t$が変化するとき，点$\mathrm{P}$は曲線
\[ y=x^{[カ]}-[キ]x-\frac{a^{[ク]}}{[ケ]}+[コ] \]
上を動く．
(2)$\mathrm{AB}=\mathrm{AP}$となる実数$t$が存在するための必要十分条件は$\displaystyle a \geqq \frac{[サ]}{[シ]}$である．

関数$f(x)=x^3+2x^2+x-3$について，つぎの問いに答えよ．

(1)$f(x)$の極値を求めよ．
(2)$a$を実数とする．曲線$y=f(x)$上の異なる$2$点$(a,\ f(a))$，$(-a,\ f(-a))$における接線をそれぞれ$\ell_1$，$\ell_2$とするとき，$\ell_1$と$\ell_2$の交点の軌跡を表す曲線$y=g(x)$を求めよ．
(3)曲線$y=g(x)$と$x$軸および直線$x=2$で囲まれた図形の面積を求めよ．

次の問題文の空欄にもっとも適する答えを解答群から選び，その記号をマークせよ．ただし，同じ記号を$2$度以上用いてもよい．

$a$を$1$より大きい実数とする．$xy$平面において，$x$軸，$y$軸，直線$x=1$と曲線$y=a^x$で囲まれる部分の面積を近似的に計算したい．$n$を自然数とし，$k=1,\ 2,\ \cdots,\ n$とする．また，$f(x)$は$0 \leqq x \leqq 1$において$f(x)>0$を満たす連続関数とする．

(1)$4$点$\displaystyle \left( \frac{k-1}{n},\ 0 \right)$，$\displaystyle \left( \frac{k}{n},\ 0 \right)$，$\displaystyle \left( \frac{k}{n},\ f \left( \frac{k}{n} \right) \right)$，$\displaystyle \left( \frac{k-1}{n},\ f \left( \frac{k-1}{n} \right) \right)$を頂点にもつ台形の面積を$M_k$とする．このとき$M_k=[キ]$となる．とくに$f(x)=a^x$であれば，面積の和$S_n=M_1+M_2+\cdots +M_n$は$[ク]$となる．ここで，極限$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{a^x-1}{x}=[ケ]$を用いると，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n=[コ]$と計算される．
(2)以下では，曲線$y=f(x)$は下に凸とする．
$3$点$\displaystyle \left( \frac{k-1}{n},\ f \left( \frac{k-1}{n} \right) \right)$，$\displaystyle \left( \frac{2k-1}{2n},\ f \left( \frac{2k-1}{2n} \right) \right)$，$\displaystyle \left( \frac{k}{n},\ f \left( \frac{k}{n} \right) \right)$を通る放物線を
\[ C_k:y=\alpha \left( x-\frac{2k-1}{2n} \right)^2+\beta \left( x-\frac{2k-1}{2n} \right)+\gamma \quad (\alpha,\ \beta,\ \gamma \text{は定数}) \]
とおく．$x$軸，直線$\displaystyle x=\frac{k-1}{n}$，直線$\displaystyle x=\frac{k}{n}$と放物線$C_k$で囲まれる部分の面積を$N_k$とおくとき，$N_k=[サ]$となる．とくに$f(x)=a^x$であれば，面積の和$N_1+N_2+\cdots N_n$は$[シ]$となる．
\begin{itemize}
ケ，コの解答群
\[ \begin{array}{lllll}
\marua e^a \phantom{AA} & \marub e^{-a} \phantom{AA} & \maruc \displaystyle\frac{e^a}{a-1} \phantom{AA} & \marud (a-1)e^a \phantom{AA} & \marue (a-1)e^{-a} \\ \\
\maruf \log a & \marug \displaystyle\frac{1}{\log a} & \maruh \displaystyle\frac{\log a}{a-1} & \marui \displaystyle\frac{a-1}{\log a} & \maruj (a-1) \log a
\end{array} \]
キ，サの解答群

\mon[$\marua$] $\displaystyle \frac{1}{n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$

\mon[$\marub$] $\displaystyle \frac{1}{2n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$

\mon[$\maruc$] $\displaystyle \frac{1}{3n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+f \left( \frac{2k-1}{2n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$

\mon[$\marud$] $\displaystyle \frac{1}{4n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+2f \left( \frac{2k-1}{2n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$

\mon[$\marue$] $\displaystyle \frac{1}{5n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+3f \left( \frac{2k-1}{2n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$

\mon[$\maruf$] $\displaystyle \frac{1}{6n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+4f \left( \frac{2k-1}{2n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$

ク，シの解答群
\[ \begin{array}{ll}
\marua \displaystyle\frac{(a^n-1) \sqrt{a}}{n(a-1)} \phantom{AA} & \marub \displaystyle\frac{a^{\frac{1}{2n}}(a-1)}{n(a^{\frac{1}{n}}-1)} \\ \\
\maruc \displaystyle\frac{(a+1)(a^n-1)}{n(a-1)} \phantom{AA} & \marud \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+1)(a-1)}{n(a^\frac{1}{n}-1)} \\ \\
\marue \displaystyle\frac{(a+1)(a^n-1)}{2n(a-1)} & \maruf \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+1)(a-1)}{2n(a^{\frac{1}{n}}-1)} \\ \\
\marug \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+a^{\frac{1}{2n}}+1)(a-1)}{n(a^\frac{1}{n}-1)} & \maruh \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+a^{\frac{1}{2n}}+1)(a-1)}{3n(a^\frac{1}{n}-1)} \\ \\
\marui \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+2a^{\frac{1}{2n}}+1)(a-1)}{4n(a^\frac{1}{n}-1)} & \maruj \displaystyle\frac{(a+3 \sqrt{a}+1)(a^n-1)}{5n(a-1)} \\ \\
\maruk \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+4a^{\frac{1}{2n}}+1)(a-1)}{6n(a^\frac{1}{n}-1)} &
\end{array} \]
\end{itemize}

曲線$y=2 \tan^2 x$上の点$\displaystyle \left( \frac{\pi}{4},\ 2 \right)$における接線$\ell$の方程式は$y=[$3$]$であり，この曲線と接線$\ell$および$x$軸によって囲まれた部分の面積は$[$4$]$となる．ただし，$\displaystyle 0 \leqq x<\frac{\pi}{2}$とする．

$y=x^4+2x^3-3x^2-2x+1$のグラフと$2$点で接する直線の方程式は$y=[$9$]$であり，接点の座標は$[$10$]$と$[$11$]$となる．