$f(x)=x^2-ax+36$とする．ただし，$a>0$とする．

(1)$a=[][]$のとき，$x$が$0$から$2$まで変化する場合の$f(x)$の平均変化率が$-16$となる．また，このとき$f^\prime(u)=0$を満たす値$u$に対して$f(u)=-[][]$となる．
(2)$a=[][]$のとき，$\displaystyle \int_0^3 f(x) \, dx=0$となる．
(3)$a=[][]$のとき，$\displaystyle \int_0^a f(x) \, dx=12a$となる．
(4)$y=f(x)$のグラフに対し，原点を通り，$x>0$の領域でこのグラフに接する接線$\ell$を引く．$a=[][]$のとき，$\ell$とこのグラフとの接点の$y$座標が$12$となる．

円$C:x^2+y^2-6x-4y+8=0$と直線$\ell:y=mx-2m-1$（$m$は実数）がある．

(1)円$C$の中心$\mathrm{C}$の座標は$([ア],\ [イ])$，半径は$\sqrt{[ウ]}$である．
(2)$\ell$は$m$の値にかかわらず点$\mathrm{A}$を通る．その座標は$([エ],\ [オカ])$である．
(3)$\ell$が$C$と接するのは
\[ m=[キク] \qquad \cdots\cdots① \]
と
\[ m=\frac{[ケ]}{[コ]} \qquad \cdots\cdots② \]
のときである．
$①$のときの接点を$\mathrm{B}$，$②$のときの接点を$\mathrm{D}$とすると，四角形$\mathrm{ABCD}$から中心角が$\angle \mathrm{BCD}$の扇形を除いた図形の面積は
\[ [サ]-\frac{[シ]}{[ス]} \pi \]
となる．ただし，$0^\circ< \angle \mathrm{BCD}<180^\circ$とする．

座標空間において，$2$点$\mathrm{A}(\sqrt{6},\ 2,\ -\sqrt{6})$，$\mathrm{B}(-\sqrt{2},\ 2 \sqrt{3},\ \sqrt{2})$がある．原点を$\mathrm{O}$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の両方に垂直である単位ベクトル$\overrightarrow{p}$をすべて求めよ．
(2)平面$z=1$と直線$\mathrm{OA}$および直線$\mathrm{OB}$との交点を，それぞれ$\mathrm{A}^\prime$，$\mathrm{B}^\prime$とする．このとき線分$\mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime$の長さを求めよ．

空間内の$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{C}(1,\ 1,\ 2)$を考える．点$\mathrm{P}$が直線$\mathrm{OA}$上を動き，点$\mathrm{Q}$が直線$\mathrm{BC}$上を動くとする．

(1)$\displaystyle \mathrm{PQ} \geqq \frac{\sqrt{2}}{2}$であることを示せ．

(2)$\displaystyle \mathrm{PQ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$となる点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を求めよ．また，その$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$に対して，直線$\mathrm{PQ}$は直線$\mathrm{OA}$および直線$\mathrm{BC}$に直交することを示せ．

放物線$y=x^2$を$C$とおき，$C$上の点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$（ただし$a>0$）と点$\mathrm{B}(0,\ 1)$を通る直線を$\ell$とする．$C$と$\ell$で囲まれた領域の$x \geqq 0$の部分の面積を$f(a)$とし，$C$と$x$軸と直線$x=a$で囲まれた領域の面積を$g(a)$とする．$f(a)-g(a)$の最大値を求めよ．

曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x^2}$の$x>0$の部分を$C_1$とする．また，原点と$C_1$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( p,\ \frac{1}{p^2} \right)$を通る放物線を$C_2$とする．$C_1$と$C_2$が点$\mathrm{P}$において同一の直線に接するとき，次の問に答えよ．

(1)$C_2$の式を$p$を用いて表せ．
(2)$C_2$と$x$軸の交点のうち，原点でない方を$\mathrm{Q}$とおく．点$\mathrm{Q}$を通り$y$軸に平行な直線と，$C_1,\ C_2$で囲まれた領域の面積を求めよ．

$\mathrm{AB}=k$，$\displaystyle \mathrm{CA}=\frac{5}{3}k$，$\displaystyle \cos A=\frac{1}{3}$である三角形$\mathrm{ABC}$において，頂点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{BC}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{H}$とする．ただし，$k$は定数で，$k>0$とする．

(1)辺$\mathrm{BC}$の長さを$k$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{BH}$の長さを$k$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{AH}$上に$\angle \mathrm{BDC}=90^\circ$となる点$\mathrm{D}$をとるとき，線分$\mathrm{BD}$の長さを$k$を用いて表せ．また，$\cos \angle \mathrm{BDA}$の値を求めよ．

放物線$C:y=-x^2+ax$上の点$\mathrm{A}(a,\ 0)$を通り，傾きが$-1$の直線を$\ell$とする．ただし，$a$は定数で，$a>1$とする．

(1)$C$と$\ell$の共有点のうち，点$\mathrm{A}$とは異なる点の座標を$a$を用いて表せ．
(2)$C$と$\ell$で囲まれた図形の面積$S_1$を$a$を用いて表せ．また，曲線$C_1:y=-x^2+ax (0 \leqq x \leqq 1)$について，$C_1$，$\ell$および$y$軸によって囲まれた図形の面積$S_2$を$a$を用いて表せ．
(3)$S=S_1-S_2$とする．$S$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．

直線$y=5x-9$を$\ell$とおく．また，$k$は実数の定数とする．

(1)放物線$y=x^2+ax-3$の頂点が$\ell$上にあるような実数$a$の値をすべて求めよ．
(2)放物線$y=x^2+ax+k$の頂点が$\ell$上にあるような実数$a$が少なくとも$1$つ存在するための$k$に関する条件を求めよ．
(3)実数の定数$a_1$と$a_2$に対し，放物線$y=x^2+a_1x+k$と$y=x^2+a_2x+k$の頂点がともに$\ell$上にあり，それら$2$頂点の間の距離が$13$であるとき，$k$の値を求めよ．

以下の文中の$[　]$の中にいれるべき数または式等を求めて記入せよ．

(1)平面上に$\triangle \mathrm{ABC}$と点$\mathrm{P}$があり，次の式を満たしている．
\[ 2 \overrightarrow{\mathrm{AP}}+3 \overrightarrow{\mathrm{BP}}+4 \overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]

(i) $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=[　] \overrightarrow{\mathrm{AB}}+[　] \overrightarrow{\mathrm{AC}}$である．
(ii) $2$直線$\mathrm{AP}$，$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$は線分$\mathrm{BC}$を$[　]$の比に内分する．また点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{AQ}$を$[　]$の比に内分する．

(2)円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{AD}=2$，$\angle \mathrm{BCD}={60}^\circ$であるとき$\mathrm{BD}=[　]$であり，外接円の半径$R=[　]$である．また$\mathrm{CD}=3 \mathrm{BC}$のとき$\mathrm{BC}=[　]$であり，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$[　]$である．