円$x^2+y^2=9$を$C$とする．円$C$が直線$y=-x+k$と異なる$2$つの共有点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$をもつとき，次の問に答えよ．

(1)$k=1$のとき，線分$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．
(2)$\mathrm{AB}=4$となるような定数$k$の値を求めよ．
(3)$\mathrm{AB}=4$かつ$k>0$のとき，点$\mathrm{A}$における円$C$の接線と点$\mathrm{B}$における円$C$の接線の交点を$\mathrm{P}$とする．三角形$\mathrm{ABP}$の面積を求めよ．また，点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle \frac{1}{3}x-7 \leqq 2 \\ \\
\displaystyle \frac{3}{2}x+3>-\frac{3}{4}x+1
\end{array} \right. \]
の解は$[$1$]$である．
(2)$2$点$(5,\ 1)$，$(-2,\ 4)$を通る直線の方程式は$[$2$]$である．
(3)直線$y=ax-3$が放物線$y=x^2-4x+3a$の接線であるとき，定数$a$の値は$[$3$]$である．
(4)$\displaystyle \sqrt{3} \sin \frac{\pi}{4}-\sqrt{6} \cos \frac{\pi}{3}$の値は$[$4$]$，$\displaystyle \sin \frac{\pi}{9} \sin \frac{\pi}{18}-\cos \frac{\pi}{9} \cos \frac{\pi}{18}$の値は$[$5$]$である．
(5)赤玉が$4$つ，青玉が$3$つ，黄玉が$2$つある．これらすべての玉を$1$列に並べる並べ方は$[$6$]$通りである．これらの玉をすべて$1$つの袋に入れ，そのうち$3$つを同時に取り出すとき，異なる色の玉を取り出す確率は$[$7$]$であり，赤玉$2$つ，青玉$1$つを取り出す確率は$[$8$]$である．また，すべての玉が入った袋から玉を$4$つ同時に取り出すとき，青玉が少なくとも$1$つ含まれる確率は$[$9$]$である．
(6)$2$次関数$f(x)$は，$\displaystyle x=-\frac{3}{4}$で極値をとり，$f(-1)=-2$，$f^\prime(2)=11$を満たす．このとき，$f(x)=[$10$]$であり，$\displaystyle \int_{-1}^2 f(x) \, dx$の値は$[$11$]$である．

関数$f(x)=|x^2-4|$と$y$軸上の点$\mathrm{C}(0,\ 8)$を通る傾きが$k$である直線$\ell$について，以下の問に答えよ．ただし，$k$は定数とする．

(1)直線$\ell$の方程式を$k$を用いて表せ．

(2)$\displaystyle S(a)=\int_{-a}^a f(x) \, dx$とするとき，$S(2)$と$S(3)$を求めよ．

(3)$k=0$であるとき，直線$\ell$と関数$f(x)$で囲まれる部分の面積を求めよ．
(4)$k=4$であるとき，直線$\ell$と関数$f(x)$で囲まれる部分の面積を求めよ．
(5)$k$が範囲$0<k<4$にあるときの直線$\ell$と関数$f(x)$で囲まれる部分の面積を$k$を用いて表せ．

関数$y=1-x^2$，$y=4+3x-x^2$を考える．このとき，次の問に答えなさい．

(1)不等式$0 \leqq y \leqq 1-x^2$で表される領域の面積は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}$である．また，不等式
\[ y \geqq 1-x^2,\quad y \leqq 4+3x-x^2,\quad y \geqq 0 \]
で表される領域の面積は$\displaystyle \frac{[ウエ]}{[オ]}$である．
(2)曲線$y=1-x^2$上の点$\mathrm{P}(k,\ 1-k^2)$における接線を$\ell$とおく．このとき接線$\ell$が曲線$y=4+3x-x^2$と異なる$2$点で交わるような$k$の値の範囲は$\displaystyle \frac{[カキ]}{[ク]}<k$である．また，このとき交点の$x$座標の値を$\alpha$，$\beta$とおくと
\[ \alpha+\beta=[ケ]+[コ]k,\quad \alpha\beta=[サシ]+k^{[ス]} \]
である．
(3)接線$\ell$と曲線$y=4+3x-x^2$で囲まれる領域の面積が$\displaystyle \frac{125}{6}$となる$k$の値は$\displaystyle \frac{[セ]}{[ソ]}$である．

$xy$平面に三角形$\mathrm{ABC}$があり，
\[ \angle \mathrm{ABC}=60^\circ,\quad \angle \mathrm{BAC}=105^\circ,\quad \mathrm{BC}=1+\sqrt{3} \]
であるという．このとき，次の問に答えなさい．

(1)$\mathrm{AB}=[アイ]+\sqrt{[ウ]}$，$\mathrm{AC}=\sqrt{[エ]}$である．

(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[オ]}}{[カ]}$である．
(3)点$\mathrm{A}$を通り$xy$平面に垂直な直線上の点$\mathrm{D}$を$\mathrm{AD}=4$となるように$xy$平面の上方にとる．また，点$\mathrm{B}$を通り$xy$平面に垂直な直線上の点$\mathrm{E}$を$\mathrm{BE}=3$となるように$xy$平面の上方にとる．また，点$\mathrm{C}$を通り$xy$平面に垂直な直線上の点$\mathrm{F}$を$\angle \mathrm{DEF}=90^\circ$となるようにとる．このとき，$\mathrm{CF}=[キ]$で，三角形$\mathrm{DEF}$の面積を$S$とおくと$\displaystyle S^2=\frac{[クケ]}{[コ]}$である．

原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$2$の円に，点$\mathrm{P}(4,\ 0)$から引いた$2$つの接線の接点のうち，第$1$象限にある点を$\mathrm{A}$，残りの点を$\mathrm{B}$とする．直線$\mathrm{AB}$が$x$軸と交わる点を$\mathrm{C}$とする．$\mathrm{C}$から直線$\mathrm{AP}$に引いた垂線と$\mathrm{AP}$の交点を$\mathrm{D}$とする．このとき，次の設問に答えよ．

(1)線分$\mathrm{AP}$の長さを求めよ．
(2)線分$\mathrm{CD}$の長さを求めよ．
(3)$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$を通る円の方程式を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{F}$，重心を$\mathrm{G}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{FA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{FB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{FC}}=\overrightarrow{c}$とおき，$\mathrm{H}$を$\overrightarrow{\mathrm{FH}}=3 \overrightarrow{\mathrm{FG}}$を満たす点とする．このとき，次の設問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{FH}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$で表せ．
(2)$\mathrm{AH} \perp \mathrm{BC}$を示せ．
(3)$\mathrm{M}$を辺$\mathrm{BC}$の中点とする．$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$が相異なる点で，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$が同一直線上にないとき，$\triangle \mathrm{AHG}$の面積は$\triangle \mathrm{MFG}$の面積の何倍であるかを求めよ．

曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x} (x>0)$を$C$とする．

(1)曲線$C$上の点$\mathrm{A}(1,\ 1)$を通り，傾き$-m (0<m<1)$の直線と曲線$C$の交点のうち，$\mathrm{A}$と異なる点を$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{B}$の座標，および線分$\mathrm{AB}$の長さ$l$を求めよ．
(2)直線$\mathrm{AB}$と曲線$C$によって囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(3)$m \to +0$のとき，$\displaystyle \frac{S}{l}$の極限値を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to +0}x \log x=0$であることを用いてよい．

$2$直線$x+y-3=0$，$3x-y+7=0$の交点と直線$4x-3y+6=0$との距離を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)不等式$ax+3>2x$を解け．ただし，$a$は定数とする．

(2)$\displaystyle a=\frac{2}{\sqrt{3}+1},\ b=\frac{2}{\sqrt{3}-1}$とするとき，$\displaystyle \frac{b^2}{a}+\frac{a^2}{b}$の値を求めよ．

(3)$2$本の平行な直線上にそれぞれ$3$個と$4$個の点がある．この中の$3$点を選んでできる三角形の個数を求めよ．