座標平面上に2点A$(-1,\ 3)$，B$(5,\ 15)$と直線$\ell$が与えられており，2点A，Bは直線$\ell$に関して対称な位置にある．直線$\ell$が$y$軸と交わる点をCとし，線分ABの中点をMとする．線分MA上に，点Mと異なる点Pをとる．このとき次の問(1)～(4)に答えよ．

(1)点Mの座標と直線ABの方程式を求めよ．
(2)直線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)点Pの$x$座標を$t$とする．$\angle \text{PCM}=\theta$とおくとき，$\cos \theta$を$t$を用いて表せ．
(4)直線$\ell$に関して，点Pと対称な点をQとする．三角形PCQが正三角形となるとき，$t$の値を求めよ．

$\theta$を$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$を満たす実数とする．$xy$平面上に$2$点$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta)$と$\displaystyle \mathrm{Q}(\frac{3}{2}\cos \theta,\ \frac{3}{2}\sin \theta)$がある．点$\mathrm{R}$を$\mathrm{PR}:\mathrm{QR}=1:2$を満たす点とする．

(1)点$\mathrm{R}$が直線$y \cos \theta-x \sin \theta=0$上にあるとき，それらの点の座標は
\[ \left( \frac{[ク]}{[ケ]} \cos \theta,\ \frac{[コ]}{[サ]} \sin \theta \right),\quad \left( \frac{[シ]}{[ス]} \cos \theta,\ \frac{[セ]}{[ソ]} \sin \theta \right) \]
である．ただし，$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}>\frac{[シ]}{[ス]}$とする．
(2)$\mathrm{R}$の軌跡は方程式
\[ \left( x-\frac{[タ]}{[チ]} \cos \theta \right)^2+\left( y-\frac{[ツ]}{[テ]} \sin \theta \right)^2=\frac{[ト]}{[ナ]} \]
が表す円$D(\theta)$である．
(3)$\theta$が$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$を動くとき，(2)で求めた$D(\theta)$が通過する部分の面積は$\displaystyle \frac{[ニ]}{[ヌネ]} \pi$である．

放物線$C:y=x^2-2$と直線$L:y=m(2x-3)$（$m$は実数）について考える．$C$と$L$が相異なる$2$点で交わるとき，$m$のとり得る値の範囲は，$m<a$，$m>b (a<b)$となる．$b$の値を求めよ．

直線：$2x-y+3=0$と円：$x^2+y^2+10x-2y+10=0$との相異なる$2$つの交点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．線分$\mathrm{AB}$の長さを$a$とするとき，$\sqrt{5}a$の値を求めよ．

$2$直線：$4x+3y-14=0$，$x-3y-11=0$の交点を通り，直線：$x-y+4=0$と直交する直線を$ax+y-b=0$（$a,\ b$は実数）とする．$(a+b)$の値を求めよ．

座標平面上に点$\mathrm{P}(s,\ t)$がある．ただし，$t<0$である．点$\mathrm{P}$から放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2$に引いた$2$本の異なる接線の接点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha+\beta$を$s$を用いて表せ．ただし，$\alpha < \beta$とする．
(2)$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線$\ell$の式を$s$と$t$を用いて表せ．
(3)直線$\ell$と放物線$C$で囲まれる部分の面積を$S$とするとき，$S$を$s$と$t$を用いて表せ．
(4)点$\mathrm{P}$が点$(0,\ -3)$を中心とする半径$2$の円周上にあるとき，$S$の最大値，および最大値を与える点$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ．

座標平面上に，$5$本の直線$x=k (k=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4)$と，これらと垂直な$10$本の直線$y=l (l=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ 9)$がある．これらの直線によってできる四角形のうちで，次の個数を求めよ．

(1)四角形
(2)正方形
(3)面積が$4$以上の四角形

$2$つの関数$f(x)=2x^3+6x^2+k$と$g(x)=4x^2+1$がある．曲線$y=f(x)$と放物線$y=g(x)$は，ともに異なる$2$点$\mathrm{A}(0,\ a)$，$\mathrm{B}(b,\ c)$を通る．ただし，$k,\ a,\ b,\ c$は定数とする．

(1)$k,\ a,\ b,\ c$の値をそれぞれ求めよ．
(2)$f(x)$の極値を求めよ．
(3)放物線$y=g(x)$と直線$\mathrm{AB}$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

座標平面上に，$5$本の直線$x=k (k=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4)$と，これらと垂直な$10$本の直線$y=l (l=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ 9)$がある．これらの直線によってできる四角形のうちで，次の個数を求めよ．

(1)四角形
(2)正方形
(3)面積が$4$以上の四角形

次の問いに答えよ．

(1)放物線$y=ax^2+bx+c$は$3$点$(-2,\ -3)$，$(0,\ -1)$，$(1,\ 6)$を通る．このとき，定数$a,\ b,\ c$の値を求め，さらにこの放物線の頂点の座標を求めよ．
(2)放物線$C:y=x^2$上の点$\mathrm{A}(t,\ t^2)$を通り，傾きが$m$であるような直線$\ell$の方程式を求めよ．また，$\ell$が$C$と異なる$2$点で交わる条件を求め，このとき，点$\mathrm{A}$とは異なる交点$\mathrm{B}$の座標を$t$と$m$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=2$，$\displaystyle \cos B=\frac{5}{6}$であるとき，辺$\mathrm{CA}$の長さ，および$\cos A$，$\cos C$の値をそれぞれ求めよ．