$xy$平面上の曲線$C:y=x^2$上に，原点$\mathrm{O}$と異なる$2$つの点$\mathrm{P}(s,\ s^2)$，$\mathrm{Q}(t,\ t^2)$がある．ただし，$s \neq t$とする．曲線$C$上の$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$におけるそれぞれの接線を$\ell_1$，$\ell_2$とし，$\ell_1$，$\ell_2$の$x$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{Q}_0$とする．このとき，次の各設問の$[　]$にふさわしい解を求め，解答欄に記入せよ．

(1)$\mathrm{P}_0$の座標は$\left( [　],\ [　] \right)$となり，$\mathrm{Q}_0$の座標は$\left( [　],\ [　] \right)$となる．
(2)$\ell_1$と$\ell_2$の交点$\mathrm{R}$の座標は$\left( [　],\ [　] \right)$である．
(3)$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{Q}_0$，$\mathrm{R}$を通る円の方程式を
\[ (x-a)^2+(y-b)^2=c^2 \quad \cdots\cdots① \]
とおく．円の方程式$①$が$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{Q}_0$を通ることと，$\mathrm{P}_0 \neq \mathrm{Q}_0$であることから
\[ s+t=[　] \quad \cdots\cdots② \]
となる．
(4)円の方程式$①$が$\mathrm{P}_0$と$\mathrm{R}$を通ることと，$②$と$s \neq 0$であることから，$s,\ t,\ a,\ b$の満たす式は
\[ \fbox{\hspace{5cm}\phantom{A}}=0 \quad \cdots\cdots③ \]
となる．同じく$\mathrm{Q}_0$と$\mathrm{R}$を通ることと，$②$と$t \neq 0$であることから，$s,\ t,\ a,\ b$の満たす式は
\[ \fbox{\hspace{5cm}\phantom{A}}=0 \quad \cdots\cdots④ \]
となる．$②$，$③$，$④$より，$a \neq 0$のとき
\[ st = \fbox{\hspace{5cm}\phantom{A}} \quad \cdots\cdots⑤ \]
を得る．同じく$a=0$のときも$⑤$が成り立つことがわかる．
(5)円の方程式$①$が$\mathrm{R}$を通ることを$a,\ b,\ c$を用いて表わすと
\[ \fbox{\hspace{5cm}\phantom{A}} \quad \cdots\cdots⑥ \]
となる．このことは，$①$が定点$\left( [　],\ [　] \right)$を通ることを意味する．

次の$[　]$に当てはまる$0$～$9$の数字を解答欄に書け．

座標平面上にある$2$点$\mathrm{P}(2t,\ 2t^3)$，$\mathrm{Q}(-4,\ 4t^2-8)$が，$-2 \leqq t \leqq 2$の範囲で動く．$\ell:y=x+b$とし，$\mathrm{P}$と$\ell$の距離を$\alpha$，$\mathrm{Q}$と$\ell$の距離を$\beta$とする．$\mathrm{P}$は，$\ell$より上側にあり，$\mathrm{Q}$は，$\ell$より下側にあるとする．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\ell$の位置関係から$b$の範囲は，
$[ア]t^2 - [イ] < b < [ウ] t^3 - [エ]t$
となる．従って，$t$の範囲は，
$-[オ] < t < [カ]$
でなければならない．

$\displaystyle \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}} |[キ]t^3 - [ク]t - b|,$
$\displaystyle \beta = \frac{1}{\sqrt{2}} |[ケ]t^2 - [コ] - b|$

だから，$\alpha = \beta$とすると，$b = (t+[サ])(t^2 - [シ])$である．
従って，$\displaystyle \alpha = \beta = \frac{1}{\sqrt{2}} |(t-[ス])(t^2-[セ])|$となり，
この値が，最大となるのは，$t=\frac{[ソ]-\sqrt{[タ]}}{[チ]}$のときで，そのときの値は
\[ \alpha = \frac{[ツ][テ]\sqrt{[ト]}+[ナ]\sqrt{[ニ][ヌ]}}{[ネ][ノ]} \]
である．

以下の$[　]$にあてはまる値を答えよ．

(1)座標平面上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$が媒介変数$\theta$を用いて
\[ \begin{array}{l}
x=-\sin \theta+2\cos \theta \\
y= 2\sin \theta+3\cos \theta
\end{array} \]
と表されているとする．このとき，原点を$\mathrm{O}$とすると
\[ \mathrm{OP}^2 = [ア]\sqrt{2} \sin \left( [イ]\theta + \frac{\pi}{[ウ]} \right) + [エ] \]
が成り立つ．
(2)$4$つのサイコロを投げて，出た目の積を$m$とする．

(3)$m=10$となる確率は$\displaystyle\frac{[オ]}{[カ][キ][ク]}$である．また，$m=60$となる確率は$\displaystyle\frac{[ケ]}{[コ][サ][シ]}$である．
(4)$m$が$10$と互いに素になる確率は$\displaystyle\frac{[ス]}{[セ][ソ]}$である．また，$m$が$10$の倍数となる確率は$\displaystyle\frac{[タ][チ][ツ]}{[テ][ト][ナ]}$である．\\
ただし，自然数$a$と$b$が互いに素であるとは，$a$と$b$が$1$以外の公約数を持たないことをいう．

(5)$xy$座標平面上で，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$\mathrm{O}$に正三角形$\mathrm{ABC}$が内接していて，三点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$はその順に反時計回りに位置している．点$\mathrm{A}$の$x$座標と$y$座標はともに正とする．直線$\mathrm{AC}$と$y$軸は点$\mathrm{D}$で交わっていて，点$\mathrm{D}$を通り直線$\mathrm{BC}$に平行な直線は，円$\mathrm{O}$に点$\mathrm{E}$で接するという．このとき，線分$\mathrm{DE}$の長さは$[ニ]$であって，$\tan (\angle \mathrm{ODE}) = [ヌ]$となる．ゆえに，点$\mathrm{A}$の$y$座標は$[ネ]$である．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$の成分は，$a+d-1=ad-bc$を満たすとする．また，数列$x_0,\ x_1,\ x_2,\ \cdots$と$y_0,\ y_1,\ y_2,\ \cdots$は
\[ \left( \begin{array}{c}
x_n \\
y_n
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
x_{n-1} \\
y_{n-1}
\end{array} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすとする．座標平面上の点$(x_n,\ y_n)$を$\mathrm{P}_n$と表し，$\mathrm{O}$は原点とする．点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$は同一直線上にはないと仮定し，$g=ad-bc$とおく．
以下の$[　]$にあてはまるものを，$g,\ n$を用いて表せ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_2=([え]) \overrightarrow{\mathrm{OP}}_1+([お]) \overrightarrow{\mathrm{OP}}_0$である．
(2)$g \neq 1$のとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}_n=\frac{[か]}{1-g} \overrightarrow{\mathrm{OP}}_1+\frac{[き]}{1-g} \overrightarrow{\mathrm{OP}}_0 \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]
である．
(3)$|g|<1$のとき
\[ \begin{array}{l}
\lim_{n \to \infty}x_n=[く]x_1+[け]x_0 \\
\lim_{n \to \infty}y_n=[く]y_1+[け]y_0
\end{array} \]
である．
(4)$0<g<1$とする．点$\displaystyle \left( \lim_{n \to \infty}x_n,\ \lim_{n \to \infty}y_n \right)$は線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_0$を$[こ]:1$に外分する．

$a$を実数とする．$xy$平面上の$2$曲線

\qquad $C_1: y=e^x, \quad C_2: y=-e^{1-x}+a$
を考える．
$C_1$上の点$\mathrm{P}(t,\ e^t) (t>0)$における$C_1$の接線$\ell_t$が，$C_2$上の点$\mathrm{Q}(s,\ -e^{1-s}+a)$における$C_2$の接線にもなっているとき，次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．
(1)$t$と$s$の関係式を求めよ．また，$a$を$t$を用いて表せ．
(2)$C_1,\ \ell_t$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_1(t)$とし，$C_2,\ \ell_t$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_2(t)$とする．ただし，$\mathrm{Q}$が$y$軸上にあるときは$S_2(t)=0$とする．

(i) $S_1(t),\ S_2(t)$を$t$を用いて表せ．
(ii) $S(t)=S_1(t)+S_2(t)$とする．$t$が$t>0$の範囲を動くとき，$t$の関数$S(t)$の最小値を求めよ．

$n$を$3$以上の整数とする．$xyz$空間の平面$z=0$上に，$1$辺の長さが$4$の正$n$角形$P$があり，$P$の外接円の中心を$\mathrm{G}$とおく．半径$1$の球$B$の中心が$P$の辺に沿って$1$周するとき，$B$が通過してできる立体を$K_n$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$P$の隣り合う$2$つの頂点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$をとる．$\mathrm{G}$から辺$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$に下ろした垂線と$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$との交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\mathrm{GQ}>1$となることを示せ．
(2)次の各問に答えよ．

(i) $K_n$を平面$z=t (-1 \leqq t \leqq 1)$で切ったときの断面積$S(t)$を$t$と$n$を用いて表せ．
(ii) $K_n$の体積$V(n)$を$n$を用いて表せ．

(3)$\mathrm{G}$を通り，平面$z=0$に垂直な直線を$\ell$とする．$K_n$を$\ell$のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$W(n)$を$n$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{V(n)}{W(n)}$を求めよ．

$a$を実数とする．座標平面において，放物線$C_a$
\[ C_a:y=-2x^2+4ax-2a^2+a+1 \]
および放物線$C$
\[ C:y=x^2-2x \]
を考える．

(1)$C_a$の頂点は常に直線$y=[ク]x+[ケ]$上にある．
(2)$C_a$と$C$が共有点をもつための必要十分条件は，
\[ \frac{[コ]}{[サ]} \leqq a \leqq [シ] \]
である．
(3)$\displaystyle a=\frac{[コ]}{[サ]}$のとき，$C_a$と$C$の共有点は$\mathrm{P}([ス],\ [セ])$である．

(4)$a=[シ]$のとき，$C_a$と$C$の共有点は$\mathrm{Q}([ソ],\ [タ])$である．

(5)$C$と直線$\mathrm{PQ}$で囲まれる図形の面積は$\displaystyle \frac{[チ]}{[ツ]}$である．
(6)$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}<a<[シ]$の場合，$C_a$と$C$で囲まれる図形の面積は，$\displaystyle a=\frac{[テ]}{[ト]}$のとき最大値$\displaystyle \frac{[ナ]}{[ニ]} \sqrt{[ヌ]}$をとる．

$a$を実数とし，放物線$C:y=x^2-2ax+4a$を考える．

(1)$C$が直線$y=-6x$と接するのは，$a=[タ]$または$a=[チ]$のときである．ただし，$[タ]<[チ]$とする．
(2)$a$がすべての実数を動くとき，$C$の頂点の軌跡の方程式は
\[ y=[ツ]x^2+[テ]x+[ト] \]
である．
(3)$C$が点$(x,\ y)$を通るような$a$が存在するための必要十分条件は
\[ \bigg(x \quad [あ] \quad [ナ] \bigg) \quad [い] \quad \bigg(y \quad [う] \quad [ニ] \bigg) \]
である．
(4)点$(3,\ -1)$を通る$C$の接線が存在するための必要十分条件は
\[ a \quad [え] \quad [ヌ] \]
である．
\begin{screen}
$[あ],\ [う],\ [え]$の選択肢： \\
$(a) < \qquad (b) \leqq \qquad (c) > \qquad (d) \geqq \qquad (e) = \qquad (f) \neq$ \\
$[い]$の選択肢： \\
$(a) $かつ \qquad $(b) $または
\end{screen}

座標平面上に原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$がある．点$\mathrm{P}(p,\ 0)$と点$\mathrm{Q}(0,\ q)$を通る直線が円$C$上の点$\mathrm{R}$において円$C$と接している．ただし，$p>1$，$q>1$とする．このとき，次の問(1)～(4)に答えよ．

(1)$q$を$p$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{PR}$の長さを$t$とするとき，$p$と$q$を$t$を用いて表せ．
(3)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る円の直径を$d$とするとき，$d^2$を$t$を用いて表せ．
(4)$d$の最小値を求めよ．また，そのときの$p$の値を求めよ．

関数$y=x^3-(a+2)x+a^2-2a$とそのグラフ$C_a$に対して，次の問いに答えよ．ただし，$a \geqq 1$とする．

(1)$C_a$と直線$x=1$との交点の座標を$(1,\ t)$とするとき，$a$の変化に応じて$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(2)この関数が$x=\sqrt{2}$で極値をとるとき，$a$の値および極大値，極小値を求めよ．
(3)$a=1$としたときのグラフを$C_1$とする．2つのグラフ$C_a$と$C_1$および$y$軸とで囲まれた図形の面積が4となるとき，$a$の値を求めよ．