「直線」について
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国立 防衛大学校 2012年 第5問$a$を$0<a<\log 2$となる定数とし，曲線$C$と直線$\ell$を
\[ C:y=\log x \quad (x>0) \qquad \ell:y=a \]
により定める．このとき，次の問に答えよ．
(1)$C$と$\ell$および直線$x=1$で囲まれた部分の面積を$S_1$とするとき，$S_1$を$a$で表せ．
(2)$C$と$\ell$および直線$x=2$で囲まれた部分の面積を$S_2$とするとき，$S_1=S_2$となる$a$の値を求めよ．
(3)$S=S_1+S_2$とするとき，$S$の値が最小となる$a$の値を求めよ．
\[ C:y=\log x \quad (x>0) \qquad \ell:y=a \]
により定める．このとき，次の問に答えよ．
(1)$C$と$\ell$および直線$x=1$で囲まれた部分の面積を$S_1$とするとき，$S_1$を$a$で表せ．
(2)$C$と$\ell$および直線$x=2$で囲まれた部分の面積を$S_2$とするとき，$S_1=S_2$となる$a$の値を求めよ．
(3)$S=S_1+S_2$とするとき，$S$の値が最小となる$a$の値を求めよ．
国立 山梨大学 2012年 第2問$a$を定数，$h$を正の定数とし，放物線$C:y=x^2$と直線$x=a$との交点を$\mathrm{P}$，放物線$C$と直線$x=a+h$との交点を$\mathrm{Q}$とする．また，直線$\mathrm{PQ}$に平行で放物線$C$に接する直線を$\ell$とする．
(1)直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)直線$\ell$と直線$x=a$との交点を$\mathrm{R}$，直線$\ell$と直線$x=a+h$との交点を$\mathrm{S}$とする．直線$\mathrm{PQ}$と放物線$C$に囲まれた図形の面積を$A_1$，四角形$\mathrm{PRSQ}$の面積を$A_2$としたとき，$\displaystyle \frac{A_1}{A_2}$の値は$a$と$h$に無関係に一定となることを示せ．
(1)直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)直線$\ell$と直線$x=a$との交点を$\mathrm{R}$，直線$\ell$と直線$x=a+h$との交点を$\mathrm{S}$とする．直線$\mathrm{PQ}$と放物線$C$に囲まれた図形の面積を$A_1$，四角形$\mathrm{PRSQ}$の面積を$A_2$としたとき，$\displaystyle \frac{A_1}{A_2}$の値は$a$と$h$に無関係に一定となることを示せ．
国立 愛媛大学 2012年 第3問次の問いに答えよ．
(1)放物線$y=x^2+2x-3$と直線$y=2x+4$の交点の座標を求めよ．
(2)次の連立不等式で表される領域を$D$とする．領域$D$を図示し，その面積を求めよ．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \geqq x^2+2x-3 \\
y \leqq 2x+4 \\
y \leqq 0
\end{array} \right. \]
(3)点$(x,\ y)$が(2)の領域$D$を動くとき，$x+2y$のとりうる値の範囲を求めよ．
(1)放物線$y=x^2+2x-3$と直線$y=2x+4$の交点の座標を求めよ．
(2)次の連立不等式で表される領域を$D$とする．領域$D$を図示し，その面積を求めよ．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \geqq x^2+2x-3 \\
y \leqq 2x+4 \\
y \leqq 0
\end{array} \right. \]
(3)点$(x,\ y)$が(2)の領域$D$を動くとき，$x+2y$のとりうる値の範囲を求めよ．
国立 愛媛大学 2012年 第4問図のような$1$辺の長さを$1$とする立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$を考える． \\
線分$\mathrm{AH}$と線分$\mathrm{ED}$の交点を$\mathrm{K}$とする．さらに，辺$\mathrm{CG}$を$3:1$ \\
に内分する点を$\mathrm{L}$とし，辺$\mathrm{EF}$を$p:1-p$に内分する点を$\mathrm{M}$と \\
する．ただし，$0<p<1$である．また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{EF}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{EH}}$， \\
$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{EA}}$とおく．
\img{669_2872_2012_1}{38}
(1)$\overrightarrow{\mathrm{KL}}$および$\overrightarrow{\mathrm{KM}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{KL}}$と$\overrightarrow{\mathrm{KM}}$が垂直になるような$p$の値を求めよ．
(3)直線$\mathrm{KL}$と面$\mathrm{EFGH}$を含む平面との交点を$\mathrm{Q}$とする．
(i) 線分$\mathrm{EQ}$の長さを求めよ．
(ii) $\triangle \mathrm{EKQ}$の面積を求めよ．
線分$\mathrm{AH}$と線分$\mathrm{ED}$の交点を$\mathrm{K}$とする．さらに，辺$\mathrm{CG}$を$3:1$ \\
に内分する点を$\mathrm{L}$とし，辺$\mathrm{EF}$を$p:1-p$に内分する点を$\mathrm{M}$と \\
する．ただし，$0<p<1$である．また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{EF}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{EH}}$， \\
$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{EA}}$とおく．
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(1)$\overrightarrow{\mathrm{KL}}$および$\overrightarrow{\mathrm{KM}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{KL}}$と$\overrightarrow{\mathrm{KM}}$が垂直になるような$p$の値を求めよ．
(3)直線$\mathrm{KL}$と面$\mathrm{EFGH}$を含む平面との交点を$\mathrm{Q}$とする．
(i) 線分$\mathrm{EQ}$の長さを求めよ．
(ii) $\triangle \mathrm{EKQ}$の面積を求めよ．
国立 愛媛大学 2012年 第1問図のような$1$辺の長さを$1$とする立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$を考える． \\
線分$\mathrm{AH}$と線分$\mathrm{ED}$の交点を$\mathrm{K}$とする．さらに，辺$\mathrm{CG}$を$3:1$ \\
に内分する点を$\mathrm{L}$とし，辺$\mathrm{EF}$を$p:1-p$に内分する点を$\mathrm{M}$と \\
する．ただし，$0<p<1$である．また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{EF}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{EH}}$， \\
$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{EA}}$とおく．
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(1)$\overrightarrow{\mathrm{KL}}$および$\overrightarrow{\mathrm{KM}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{KL}}$と$\overrightarrow{\mathrm{KM}}$が垂直になるような$p$の値を求めよ．
(3)直線$\mathrm{KL}$と面$\mathrm{EFGH}$を含む平面との交点を$\mathrm{Q}$とする．
(i) 線分$\mathrm{EQ}$の長さを求めよ．
(ii) $\triangle \mathrm{EKQ}$の面積を求めよ．
線分$\mathrm{AH}$と線分$\mathrm{ED}$の交点を$\mathrm{K}$とする．さらに，辺$\mathrm{CG}$を$3:1$ \\
に内分する点を$\mathrm{L}$とし，辺$\mathrm{EF}$を$p:1-p$に内分する点を$\mathrm{M}$と \\
する．ただし，$0<p<1$である．また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{EF}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{EH}}$， \\
$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{EA}}$とおく．
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(1)$\overrightarrow{\mathrm{KL}}$および$\overrightarrow{\mathrm{KM}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{KL}}$と$\overrightarrow{\mathrm{KM}}$が垂直になるような$p$の値を求めよ．
(3)直線$\mathrm{KL}$と面$\mathrm{EFGH}$を含む平面との交点を$\mathrm{Q}$とする．
(i) 線分$\mathrm{EQ}$の長さを求めよ．
(ii) $\triangle \mathrm{EKQ}$の面積を求めよ．
国立 愛媛大学 2012年 第1問図のような$1$辺の長さを$1$とする立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$を考える． \\
線分$\mathrm{AH}$と線分$\mathrm{ED}$の交点を$\mathrm{K}$とする．さらに，辺$\mathrm{CG}$を$3:1$ \\
に内分する点を$\mathrm{L}$とし，辺$\mathrm{EF}$を$p:1-p$に内分する点を$\mathrm{M}$と \\
する．ただし，$0<p<1$である．また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{EF}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{EH}}$， \\
$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{EA}}$とおく．
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(1)$\overrightarrow{\mathrm{KL}}$および$\overrightarrow{\mathrm{KM}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{KL}}$と$\overrightarrow{\mathrm{KM}}$が垂直になるような$p$の値を求めよ．
(3)直線$\mathrm{KL}$と面$\mathrm{EFGH}$を含む平面との交点を$\mathrm{Q}$とする．
(i) 線分$\mathrm{EQ}$の長さを求めよ．
(ii) $\triangle \mathrm{EKQ}$の面積を求めよ．
線分$\mathrm{AH}$と線分$\mathrm{ED}$の交点を$\mathrm{K}$とする．さらに，辺$\mathrm{CG}$を$3:1$ \\
に内分する点を$\mathrm{L}$とし，辺$\mathrm{EF}$を$p:1-p$に内分する点を$\mathrm{M}$と \\
する．ただし，$0<p<1$である．また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{EF}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{EH}}$， \\
$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{EA}}$とおく．
\img{669_2872_2012_1}{38}
(1)$\overrightarrow{\mathrm{KL}}$および$\overrightarrow{\mathrm{KM}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{KL}}$と$\overrightarrow{\mathrm{KM}}$が垂直になるような$p$の値を求めよ．
(3)直線$\mathrm{KL}$と面$\mathrm{EFGH}$を含む平面との交点を$\mathrm{Q}$とする．
(i) 線分$\mathrm{EQ}$の長さを求めよ．
(ii) $\triangle \mathrm{EKQ}$の面積を求めよ．
国立 愛媛大学 2012年 第4問実数$a$は$a>e$を満たすとし，曲線$y=\log x$上の点$\mathrm{A}(a,\ \log a)$における接線を$\ell$とする．
(1)$\ell$と$y$軸との交点を$\mathrm{B}$とし，$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{C}$とする．$\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(2)$\ell$と$x$軸，$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_1(a)$とし，曲線$y=\log x$と$x$軸および直線$x=a$で囲まれた部分の面積を$S_2(a)$とする．$S_1(a)$と$S_2(a)$を求めよ．
(3)$T(a)=S_2(a)-S_1(a)$とおく．$e^2 \leqq a \leqq e^3$における$T(a)$の最大値と最小値を求めよ．
(1)$\ell$と$y$軸との交点を$\mathrm{B}$とし，$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{C}$とする．$\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(2)$\ell$と$x$軸，$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_1(a)$とし，曲線$y=\log x$と$x$軸および直線$x=a$で囲まれた部分の面積を$S_2(a)$とする．$S_1(a)$と$S_2(a)$を求めよ．
(3)$T(a)=S_2(a)-S_1(a)$とおく．$e^2 \leqq a \leqq e^3$における$T(a)$の最大値と最小値を求めよ．
国立 山梨大学 2012年 第3問円$C:x^2+y^2=1$と点$\mathrm{A}(x_0,\ 0)$があり，$0<x_0<1$とする．原点$\mathrm{O}$と円$C$上の点$\mathrm{B}$を通る直線$\ell_1$と線分$\mathrm{AB}$の垂直二等分線$\ell_2$の交点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{B}$が円$C$上を動くとき，点$\mathrm{P}$の軌跡の方程式を求めよ．また，その方程式が表す図形を下の座標平面上に図示せよ．
（図は省略）
（図は省略）
国立 東京海洋大学 2012年 第5問空間内に三角形$\mathrm{ABC}$と定点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の球面$S$とがある．点$\mathrm{P}$が$S$上のすべての点を動くときの$\mathrm{AP}^2+\mathrm{BP}^2+\mathrm{CP}^2$の最大値，最小値をそれぞれ$M,\ m$とするとき，次の問に答えよ．ただし，三角形$\mathrm{ABC}$の重心$\mathrm{G}$は$\mathrm{OG}>1$をみたすものとする．
(1)$M=\mathrm{AQ}^2+\mathrm{BQ}^2+\mathrm{CQ}^2$となる$S$上の点を$\mathrm{Q}$，$m=\mathrm{AR}^2+\mathrm{BR}^2+\mathrm{CR}^2$となる$S$上の点を$\mathrm{R}$とするとき，$3$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{G}$は$1$直線上にあることを示せ．
(2)$\sqrt{M-(\mathrm{GA}^2+\mathrm{GB}^2+\mathrm{GC}^2)}-\sqrt{m-(\mathrm{GA}^2+\mathrm{GB}^2+\mathrm{GC}^2)}$の値は三角形$\mathrm{ABC}$に無関係に定まることを示し，その値を求めよ．
(1)$M=\mathrm{AQ}^2+\mathrm{BQ}^2+\mathrm{CQ}^2$となる$S$上の点を$\mathrm{Q}$，$m=\mathrm{AR}^2+\mathrm{BR}^2+\mathrm{CR}^2$となる$S$上の点を$\mathrm{R}$とするとき，$3$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{G}$は$1$直線上にあることを示せ．
(2)$\sqrt{M-(\mathrm{GA}^2+\mathrm{GB}^2+\mathrm{GC}^2)}-\sqrt{m-(\mathrm{GA}^2+\mathrm{GB}^2+\mathrm{GC}^2)}$の値は三角形$\mathrm{ABC}$に無関係に定まることを示し，その値を求めよ．
国立 大分大学 2012年 第2問円周上の点Aにおける円の接線上に点Aと異なる点Pをとる．点Pを通る直線が点Pから近い順に2点B，Cで円と交わっている．$\angle \text{APB}$の二等分線と線分AB，ACとの交点をそれぞれD，Eとする．$\text{PA}:\text{PB}=r:1-r$とおき，$\text{BD}=s,\ \text{CE}=t$とおく．ただし，$0<r<1$とする．
(1)線分ADの長さを$r$と$s$で表しなさい．
(2)$\text{PB}:\text{PC}=2:3$となるとき，$r$の値を求めなさい．
(3)(2)のとき，線分AEの長さを$t$で表しなさい．
(1)線分ADの長さを$r$と$s$で表しなさい．
(2)$\text{PB}:\text{PC}=2:3$となるとき，$r$の値を求めなさい．
(3)(2)のとき，線分AEの長さを$t$で表しなさい．