曲線$C:y=\log x$上に異なる$2$点$\mathrm{A}(a,\ \log a)$，$\mathrm{B}(b,\ \log b)$をとり，$C$の$\mathrm{A}$における接線と$\mathrm{B}$における接線の交点について考える．次の問いに答えよ．

(1)任意に与えられた$a>1$に対して，$2$本の接線の交点がちょうど直線$x=1$上にくるような$b$が唯一つだけ存在し，$b<1$であることを示せ．
(2)$2$点$\mathrm{A}(a,\ \log a)$，$\mathrm{B}\displaystyle \left( \frac{1}{a},\ \log \frac{1}{a} \right) \ (a>1)$について，$2$本の接線の交点の$x$座標が$1$より大きいか小さいかを調べよ．
(3)$k$を自然数とする．$\displaystyle a=1+\frac{1}{k}$として(2)の結果を使って，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} > \frac{1}{2} \left( 1+\frac{1}{n} \right) +\log n \quad (n \geqq 2) \]

座標平面上の2点A$(6,\ 0)$，B$(-2,\ 4)$を結ぶ線分AB上を点Tが移動する．原点Oと点Tを頂点とし，2辺がそれぞれ$x$軸と$y$軸上にある長方形の面積を$S$とする．また，点Tの座標を$(x,\ f(x))$とし，$S$を$x$の関数として$S(x)$と表す．次の各問に解答しなさい．

(1)$f(x)$と$S(x)$を$x$で表しなさい．さらに，区間$-2 \leqq x \leqq 6$における$y=S(x)$のグラフの概形を図示しなさい．
(2)直線$x=-2$と曲線$y=S(x)$および$x$軸で囲まれた図形の面積を求めなさい．
(3)区間$-2 \leqq x \leqq 4$における任意の$x$の値について，区間$x \leqq t \leqq x+2$における関数$S(t)$の最大値を$x$の関数として$M(x)$と定義する．関数$M(x)$を$x$で表し，さらに$y=M(x)$のグラフの概形を図示しなさい．

座標空間内において，2点O$(0,\ 0,\ 0)$，A$(1,\ 0,\ 1)$を端点とする線分OA，平面$z=2$上に点$(0,\ 0,\ 2)$を中心とする半径1の円周$C$，および$C$上の動点Pがあるとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)直線PAと$xy$平面との交点をA$^\prime$とするとき，A$^\prime$の軌跡の方程式を求めよ．
(2)線分OA$^\prime$が動いてできる$xy$平面上の図形を描け．
(3)(2)の図形の面積を求めよ．

$0 \leqq a \leqq 1$をみたす$a$に対して$A=\left( \begin{array}{cc}
\sqrt{1-a^2} & -a \\
a & \sqrt{1-a^2}
\end{array} \right)$とし，$A$の表す$1$次変換によって，平面上の点$(1,\ 1)$が，直線$y=\sqrt{3}x$上の点に移されるとする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)$a$の値を求めよ．

以下，$a$は$(1)$で求めた値とする．

\mon[$(2)$] $A^2$を求めよ．
\mon[$(3)$] $A^{2012}$を求めよ．

座標平面上の3点$\mathrm{A}(9,\ 12)$，$\mathrm{B}(0,\ 0)$，$\mathrm{C}(25,\ 0)$を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$および，三角形$\mathrm{ABC}$の内接円と外接円を考える．三角形$\mathrm{ABC}$の内接円は，辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$とそれぞれ点$\mathrm{D},\ \mathrm{E},\ \mathrm{F}$で接する．また，三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の中心と点$\mathrm{A}$を通る直線は，辺$\mathrm{BC}$と点$\mathrm{G}$で交わる．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)3辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$の長さを求めなさい．
(2)線分$\mathrm{AE}$の長さを求めなさい．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の半径と中心の座標を求めなさい．
(4)点$\mathrm{G}$の座標を求めなさい．
(5)三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の方程式を求めなさい．

3点$\mathrm{P}(4,\ -5)$，$\mathrm{Q}(0,\ 3)$，$\mathrm{R}(7,\ 4)$を通る円を$C$とする．次の問いに答えよ．

(1)円$C$の方程式を$x^2+y^2+ax+by+c=0$とおいて，$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(2)点$\mathrm{S}(-4,\ 0)$を通り，傾き$m$の直線を$\ell$とする．直線$\ell$が円$C$と2つの交点をもつような傾き$m$の範囲を求めよ．
(3)傾き$m$が(2)の範囲にあるとき，直線$\ell$と円$C$の2つの交点の中点の軌跡はある円の一部分であることを示し，その軌跡を求めよ．

$2$次関数$f(x)=-x^2+10x-16$について次の問いに答えよ．

(1)$f(x)=0$を満たす$x$の値$\alpha,\ \beta$を求めよ．ただし$\alpha<\beta$とする．
(2)関数$y=f(x)$のグラフと$x$軸とで囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(3)$2$次関数$g(x)=px^2+qx$と$f(x)$は同じ$x$の値で極値をとり，関数$y=g(x)$のグラフと$x$軸および$2$直線$x=\alpha,\ x=\beta$とで囲まれた図形の面積が$(2)$で求めた$S$に等しいとする．定数$p,\ q$の値を求めよ．

区間$1 \leqq x \leqq 4$で定められた関数$\displaystyle f(x)=\sqrt{4x-x^2},\ g(x)=\sqrt{x \log \frac{4}{x}}$について，次の問いに答えよ．ただし対数は自然対数とする．

(1)曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=1$で囲まれた部分を，$x$軸の周りに1回転させてできる回転体の体積$V$を求めよ．
(2)区間$1 \leqq x \leqq 4$において$\{f(x)\}^2-\{g(x)\}^2 \geqq 0$が成り立つことを示せ．
(3)2つの曲線$y=f(x),\ y=g(x)$と直線$x=1$で囲まれた部分を$D$とおく．$D$を$x$軸の周りに1回転させてできる回転体の体積$W$を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2+1}$に対して，$xy$平面上の曲線$C:y=f(x)$を考える．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)曲線$C$の第$1$象限にある変曲点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)変曲点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(4)$\displaystyle x=\tan \theta \ \left( -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とおく．このとき，不定積分
\[ I=\int \frac{dx}{x^2+1} \]
を$\theta$を用いて表せ．なお，不定積分の計算においては積分定数を省略してもよい．
(5)曲線$C$と接線$\ell$および$y$軸とで囲まれる部分の面積$S$を求めよ．

曲線$C:y=e^{-x}$上の点$\mathrm{A}(a,\ e^{-a})$における法線を$\ell$とし，$\ell$に関して点$(a,\ 0)$と対称な点を$\mathrm{B}$，直線$\mathrm{AB}$と$y$軸との交点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$の$y$座標を$f(a)$とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1)$f(a)$を$a$を用いて表せ．
(2)$a$が実数全体を動くとき，$f(a)$の最大値とそのときの$a$の値を求めよ．
(3)$a$を(2)で求めた値とするとき，曲線$C$，$y$軸と線分$\mathrm{AP}$で囲まれた部分を，$y$軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ．