$a>0$とする．曲線$y=a^3x^2$を$C_1$とし，曲線$\displaystyle y=-\frac{1}{x} (x>0)$を$C_2$とする．また，$C_1$と$C_2$に同時に接する直線を$\ell$とする．

(1)直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)直線$\ell$と曲線$C_1,\ C_2$との接点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．$a$が$a>0$の範囲を動くとき，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$間の距離の最小値を求めよ．

$f(x)=\sqrt{x}e^{-x} (0 \leqq x \leqq 1)$とする．

(1)関数$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=1$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$4:3$に内分する点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．また，線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とし，直線$\mathrm{AF}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{G}$とする．

(1)長さの比$\mathrm{BF}:\mathrm{FE}$を求めよ．
(2)長さの比$\mathrm{BG}:\mathrm{GC}$を求めよ．
(3)面積の比$\triangle \mathrm{EFC}: \triangle \mathrm{ABC}$を求めよ．

$f(x)=\sqrt{x}e^{-x} (0 \leqq x \leqq 1)$とする．

(1)関数$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=1$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$を座標空間の点$\mathrm{O}$を始点とする$3$つの相異なる半直線とする．$\ell_1$と$\ell_2$及び$\ell_1$と$\ell_3$が$\mathrm{O}$においてなす角は$\displaystyle \frac{\pi}{3}$であるとし，$\ell_2$と$\ell_3$が$\mathrm{O}$においてなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta \leqq \frac{2\pi}{3} \right)$とする．$\mathrm{O}$とは異なる$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$上の$3$点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$を頂点とする正三角形が存在するような$\cos \theta$の範囲を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)放物線$C:y=x^2+6$，直線$\ell:y=2x$を考える．点Pが$C$上を，点Qが$\ell$上をそれぞれ動くとき，PQの最小値を求めよ．
(2)(1)で，PQが最小値をとる$C$上の点P，$\ell$上の点Qに対し，線分PQ，放物線$C$，直線$\ell$，及び$y$軸で囲まれた領域の面積を求めよ．
(3)放物線$C:y=x^2+6$，直線$\ell_k:y=2kx-5$を考える．点Pが$C$上を，点Rが$\ell_k$上をそれぞれ動いたときのPRの最小値が1となる$k$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)放物線$C:y=x^2+6$，直線$\ell:y=2x$を考える．点Pが$C$上を，点Qが$\ell$上をそれぞれ動くとき，PQの最小値を求めよ．
(2)(1)で，PQが最小値をとる$C$上の点P，$\ell$上の点Qに対し，線分PQ，放物線$C$，直線$\ell$，及び$y$軸で囲まれた領域の面積を求めよ．
(3)放物線$C:y=x^2+6$，直線$\ell_k:y=2kx-5$を考える．点Pが$C$上を，点Rが$\ell_k$上をそれぞれ動いたときのPRの最小値が1となる$k$の値を求めよ．

$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$を座標空間の点Oを始点とする3つの相異なる半直線とする．$\ell_1$と$\ell_2$及び$\ell_1$と$\ell_3$がOにおいてなす角は$\displaystyle \frac{\pi}{3}$であるとし，$\ell_2$と$\ell_3$がOにおいてなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta \leqq \frac{2\pi}{3} \right)$とする．$x,\ y$を正数とし，$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$上に点P$_1$，P$_2$，P$_3$をそれぞれ，$\text{OP}_1=1,\ \text{OP}_2=x,\ \text{OP}_3=y$となるようにとる．$\triangle$P$_1$P$_2$P$_3$が正三角形となる$x,\ y$が存在するような$\cos \theta$の範囲を求めよ．

$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$を座標空間の点Oを始点とする3つの相異なる半直線とする．$\ell_1$と$\ell_2$及び$\ell_1$と$\ell_3$がOにおいてなす角は$\displaystyle \frac{\pi}{3}$であるとし，$\ell_2$と$\ell_3$がOにおいてなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta \leqq \frac{2\pi}{3} \right)$とする．Oとは異なる$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$上の3点P$_1$，P$_2$，P$_3$を頂点とする正三角形が存在するような$\cos \theta$の範囲を求めよ．

半径2の円板が$x$軸上を正の方向に滑らずに回転するとき，円板上の点Pの描く曲線$C$を考える．円板の中心の最初の位置を$(0,\ 2)$，点Pの最初の位置を$(0,\ 1)$とする．

(1)円板がその中心のまわりに回転した角を$\theta$とするとき，Pの座標は
\[ (2\theta-\sin \theta,\ 2-\cos \theta) \]
で与えられることを示せ．
(2)点P$(2\theta-\sin \theta,\ 2-\cos \theta) \ (0<\theta<2\pi)$における曲線$C$の法線と$x$軸との交点をQとする．線分PQの長さが最大となるような点Pを求めよ．ここで，Pにおいて接線に直交する直線を法線という．
(3)曲線$C$と$x$軸，2直線$x=0,\ x=4\pi$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．