次の各問に答えよ．
（図は省略）

(1)上図$\mathrm{I}$において，点$\mathrm{O}$を中心とする円の半径を$R$とする．この円の弦$\mathrm{XY}$上の任意の点を$\mathrm{P}$とするとき，等式
\[ \mathrm{OP}^2=R^2-\mathrm{XP} \cdot \mathrm{YP} \]
が成り立つことを示せ．
(2)上図$\mathrm{II}$の$\triangle \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$，内心を$\mathrm{I}$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円，内接円の半径をそれぞれ$R$，$r$とする．また，直線$\mathrm{AI}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の，点$\mathrm{A}$と異なる交点を$\mathrm{D}$，$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円と辺$\mathrm{AB}$との接点を$\mathrm{E}$とする．このとき，次の$(ⅰ),\ (ⅱ),\ (ⅲ)$に答えよ．

(i) $\mathrm{DB}=\mathrm{DI}$であることを示せ．
(ii) $\mathrm{AI} \cdot \mathrm{DI}=2Rr$であることを示せ．
(iii) $\mathrm{OI}^2=R^2-2Rr$であることを示せ．

平面上に互いに異なる3点O，A，Bがあり，それらは同一直線上にはないものとする．$\text{OA}=2,\ \text{OB}=3$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とし，その内積を$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=t$とおく．$\angle \text{AOB}$の二等分線と線分ABとの交点をCとし，直線OAに関して点Bと対称な点をDとする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OC}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OD}}$となるとき，$\angle \text{AOB}$とOCを求めよ．

平面上に互いに異なる3点O，A，Bがあり，それらは同一直線上にはないものとする．$\text{OA}=2,\ \text{OB}=3$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とし，その内積を$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=t$とおく．$\angle \text{AOB}$の二等分線と線分ABとの交点をCとし，直線OAに関して点Bと対称な点をDとする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OC}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OD}}$となるとき，$\angle \text{AOB}$とOCを求めよ．

平面上に互いに異なる3点O，A，Bがあり，それらは同一直線上にはないものとする．$\text{OA}=2,\ \text{OB}=3$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とし，その内積を$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=t$とおく．$\angle \text{AOB}$の二等分線と線分ABとの交点をCとし，直線OAに関して点Bと対称な点をDとする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OC}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OD}}$となるとき，$\angle \text{AOB}$とOCを求めよ．

$e$を自然対数の底とし，$\log x$を自然対数とする．次の各問いに答えよ．

(1)$p,\ q$を$p>0,\ q>1$を満たす定数とする．曲線$y=p \log x$と直線$x=q$と$x$軸とで囲まれた部分の面積を$p,\ q$を使って表せ．
(2)2つの曲線$y=\log x,\ y=3 \log x$と2つの直線$x=e,\ x=e^2$で囲まれた部分を$D$とする．$D$の面積を求めよ．
(3)(2)で与えられた$D$を$x$軸のまわりに回転させてできる立体の体積を求めよ．

$a$は定数で，$0<a<e,\ a \neq 1$とする．$2$曲線$y=a^x,\ y=e^x$と直線$y=a$で囲まれた図形の面積を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

曲線$\displaystyle y=\frac{1}{2}(x^2-1)$を$C$とする．$a$は定数で$a>0$とし，点A$\displaystyle \left( a,\ \frac{1}{2}(a^2-1) \right)$における$C$の接線を$\ell$とする．また$\ell$と直線$x=a$とのなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\tan \theta$を$a$を用いて表せ．
(3)点Aを通る直線で，$\ell$となす角が$\theta$であるが，直線$x=a$とは異なるものの方程式を求めよ．

楕円$\displaystyle C_1:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$および双曲線$\displaystyle C_2:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$について，次の問に答えよ．ただし，$a>0,\ b>0$とする．

(1)楕円$C_1$上の点$(x_1,\ y_1)$における接線の方程式は
\[ \frac{x_1x}{a^2}+\frac{y_1y}{b^2}=1 \]
であることを示せ．
(2)楕円$C_1$の外部の点$(p,\ q)$を通る$C_1$の2本の接線の接点をそれぞれA$_1$，A$_2$とする．直線A$_1$A$_2$の方程式は
\[ \frac{px}{a^2}+\frac{qy}{b^2}=1 \]
であることを示せ．
(3)$(p,\ q)$が双曲線$C_2$上の点であるとき，直線$\displaystyle \frac{px}{a^2}+\frac{qy}{b^2}=1$は$C_2$に接することを示せ．

$a$は定数で，$0<a<e,\ a \neq 1$とする．$2$曲線$y=a^x,\ y=e^x$と直線$y=a$で囲まれた図形の面積を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

曲線$\displaystyle y=\frac{1}{2}(x^2-1)$を$C$とする．$a$は定数で$a>0$とし，点A$\displaystyle \left( a,\ \frac{1}{2}(a^2-1) \right)$における$C$の接線を$\ell$とする．また$\ell$と直線$x=a$とのなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\tan \theta$を$a$を用いて表せ．
(3)点Aを通る直線で，$\ell$となす角が$\theta$であるが，直線$x=a$とは異なるものの方程式を求めよ．