「直線」について
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国立 宮崎大学 2012年 第3問四面体OABCにおいて，
\[ \text{OA}=\text{OC}=4, \text{OB}=3, \angle \text{AOB}=\angle \text{BOC}=\angle \text{COA}=60^\circ \]
とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の各問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$の値を求めよ．
(2)平面ABC上の点Dを，直線ODが平面ABCに垂直に交わるようにとる．$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+p\overrightarrow{\mathrm{AB}}+q\overrightarrow{\mathrm{AC}}$とおくとき，$p$と$q$の値を求めよ．
(3)四面体OABCの体積を求めよ．
\[ \text{OA}=\text{OC}=4, \text{OB}=3, \angle \text{AOB}=\angle \text{BOC}=\angle \text{COA}=60^\circ \]
とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の各問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$の値を求めよ．
(2)平面ABC上の点Dを，直線ODが平面ABCに垂直に交わるようにとる．$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+p\overrightarrow{\mathrm{AB}}+q\overrightarrow{\mathrm{AC}}$とおくとき，$p$と$q$の値を求めよ．
(3)四面体OABCの体積を求めよ．
国立 宮崎大学 2012年 第4問関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x^2}$について，次の各問に答えよ．
(1)曲線$y=f(x)$上の点P$\displaystyle \left( \sqrt{3},\ \frac{1}{4} \right)$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と接線$\ell$との共有点のうち，点Pと異なる点Qの$x$座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と接線$\ell$によって囲まれる部分の面積を求めよ．
(1)曲線$y=f(x)$上の点P$\displaystyle \left( \sqrt{3},\ \frac{1}{4} \right)$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と接線$\ell$との共有点のうち，点Pと異なる点Qの$x$座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と接線$\ell$によって囲まれる部分の面積を求めよ．
国立 宮崎大学 2012年 第2問四面体OABCにおいて，
\[ \text{OA}=\text{OC}=4, \text{OB}=3, \angle \text{AOB}=\angle \text{BOC}=\angle \text{COA}=60^\circ \]
とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の各問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$の値を求めよ．
(2)平面ABC上の点Dを，直線ODが平面ABCに垂直に交わるようにとる．$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+p\overrightarrow{\mathrm{AB}}+q\overrightarrow{\mathrm{AC}}$とおくとき，$p$と$q$の値を求めよ．
(3)四面体OABCの体積を求めよ．
\[ \text{OA}=\text{OC}=4, \text{OB}=3, \angle \text{AOB}=\angle \text{BOC}=\angle \text{COA}=60^\circ \]
とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の各問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$の値を求めよ．
(2)平面ABC上の点Dを，直線ODが平面ABCに垂直に交わるようにとる．$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+p\overrightarrow{\mathrm{AB}}+q\overrightarrow{\mathrm{AC}}$とおくとき，$p$と$q$の値を求めよ．
(3)四面体OABCの体積を求めよ．
国立 宮崎大学 2012年 第3問関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x^2}$について，次の各問に答えよ．
(1)曲線$y=f(x)$上の点P$\displaystyle \left( \sqrt{3},\ \frac{1}{4} \right)$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と接線$\ell$との共有点のうち，点Pと異なる点Qの$x$座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と接線$\ell$によって囲まれる部分の面積を求めよ．
(1)曲線$y=f(x)$上の点P$\displaystyle \left( \sqrt{3},\ \frac{1}{4} \right)$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と接線$\ell$との共有点のうち，点Pと異なる点Qの$x$座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と接線$\ell$によって囲まれる部分の面積を求めよ．
国立 宮崎大学 2012年 第3問座標平面上の放物線$y=x^2$と直線$y=kx+1 \ (k \text{は実数})$の2つの交点をP，Qとし，点Pの$x$座標を$\alpha$，点Qの$x$座標を$\beta \ (\alpha<\beta)$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$\alpha+\beta$および$\alpha\beta$の値を，$k$を用いて表せ．
(2)2点P，Qにおける放物線の接線をそれぞれ$\ell,\ m$とし，その交点をRとするとき，点Rの$x$座標を，$k$を用いて表せ．
(3)放物線と(2)の2つの接線$\ell,\ m$で囲まれる部分の面積を，$k$を用いて表せ．
(1)$\alpha+\beta$および$\alpha\beta$の値を，$k$を用いて表せ．
(2)2点P，Qにおける放物線の接線をそれぞれ$\ell,\ m$とし，その交点をRとするとき，点Rの$x$座標を，$k$を用いて表せ．
(3)放物線と(2)の2つの接線$\ell,\ m$で囲まれる部分の面積を，$k$を用いて表せ．
国立 宮崎大学 2012年 第2問四面体OABCにおいて，
\[ \text{OA}=\text{OC}=4, \text{OB}=3, \angle \text{AOB}=\angle \text{BOC}=\angle \text{COA}=60^\circ \]
とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の各問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$の値を求めよ．
(2)平面ABC上の点Dを，直線ODが平面ABCに垂直に交わるようにとる．$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+p\overrightarrow{\mathrm{AB}}+q\overrightarrow{\mathrm{AC}}$とおくとき，$p$と$q$の値を求めよ．
(3)四面体OABCの体積を求めよ．
\[ \text{OA}=\text{OC}=4, \text{OB}=3, \angle \text{AOB}=\angle \text{BOC}=\angle \text{COA}=60^\circ \]
とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の各問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$の値を求めよ．
(2)平面ABC上の点Dを，直線ODが平面ABCに垂直に交わるようにとる．$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+p\overrightarrow{\mathrm{AB}}+q\overrightarrow{\mathrm{AC}}$とおくとき，$p$と$q$の値を求めよ．
(3)四面体OABCの体積を求めよ．
国立 香川大学 2012年 第1問$\triangle$OABの辺OAを$1:2$に内分する点をC，辺OBを$3:2$に内分する点をDとする．$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AE}}=\frac{5}{3}\overrightarrow{\mathrm{AD}}$をみたす点をEとし，直線OEと直線BCとの交点をFとする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおく．このとき，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(3)$\text{FC}:\text{CB}$を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(3)$\text{FC}:\text{CB}$を求めよ．
国立 香川大学 2012年 第3問放物線$C:y=x(x-a)$について，次の問に答えよ．ただし，$a>0$とする．
(1)直線$\ell:y=ax$と，$C$との交点で，原点とは異なる点の座標を求めよ．
(2)$C$と$x$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．
(3)$C$と$\ell$とで囲まれた図形$D$の面積を求めよ．
(4)点$(a,\ 0)$を通り，図形$D$の面積を2等分する直線の方程式を求めよ．
(1)直線$\ell:y=ax$と，$C$との交点で，原点とは異なる点の座標を求めよ．
(2)$C$と$x$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．
(3)$C$と$\ell$とで囲まれた図形$D$の面積を求めよ．
(4)点$(a,\ 0)$を通り，図形$D$の面積を2等分する直線の方程式を求めよ．
国立 香川大学 2012年 第1問$\triangle$OABの辺OAを$1:2$に内分する点をC，辺OBを$3:2$に内分する点をDとする．$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AE}}=\frac{5}{3}\overrightarrow{\mathrm{AD}}$をみたす点をEとし，直線OEと直線BCとの交点をFとする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおく．このとき，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(3)$\text{FC}:\text{CB}$を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(3)$\text{FC}:\text{CB}$を求めよ．
国立 香川大学 2012年 第3問放物線$C:y=x^2-x+1$について，次の問に答えよ．
(1)点$(0,\ 0)$を通り，放物線$C$に接する2つの直線の方程式を求めよ．
(2)放物線$C$と，(1)で求めた2つの接線で囲まれる図形を$D$とするとき，$C$と接線の概形をかき，$D$を図示せよ．
(3)$D$を$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．
(1)点$(0,\ 0)$を通り，放物線$C$に接する2つの直線の方程式を求めよ．
(2)放物線$C$と，(1)で求めた2つの接線で囲まれる図形を$D$とするとき，$C$と接線の概形をかき，$D$を図示せよ．
(3)$D$を$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．