$a$を正の実数とする．$xy$平面上に放物線$C:y=x^2-2ax+a^2+1$と2つの直線$\ell_1:y=-2ax+6$，$\ell_2:y=2$がある．$\ell_1$と$\ell_2$の交点が不等式$y>x^2-2ax+a^2+1$の表す領域にあるとき，以下の問に答えよ．

(1)$a$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$C$と$\ell_1$の2つの交点の$x$座標，$C$と$\ell_2$の2つの交点の$x$座標をそれぞれ求めよ．
(3)$C$と$\ell_1$の2つの交点間の距離を求めよ．
(4)(3)で求めた距離が最大となるときの$a$の値を求めよ．

関数$f(x)=kx^3-3kx \ (k>0)$が表す座標平面上の曲線を$C:y=f(x)$とする．曲線$C$上の2点P$(p,\ f(p))$，Q$(ap,\ f(ap))$における接線をそれぞれ$\ell_1,\ \ell_2$とする．ただし，$p>0,\ a \neq 1$とする．以下の問いに答えよ．

(1)点Pにおける接線$\ell_1$の方程式を$k,\ p$を用いて表せ．
(2)点Qにおける接線$\ell_2$が点Pを通るとき，$a$の値を求めよ．
(3)ある$k$に対して2つの接線$\ell_1,\ \ell_2$が点Pにおいて垂直に交わっているとき，$k$を$p$を用いて表せ．また，そのような$k$が存在する$p$の値の範囲を求めよ．
(4)ある$k$に対して2つの接線$\ell_1,\ \ell_2$が点Pにおいて垂直に交わっているとき，接線$\ell_2$と曲線$C$によって囲まれた図形の面積$S$を$p$を用いて表せ．

Oを原点とする座標平面上に点A$(0,\ 1)$があり，点Aからの距離が4である点P$(x,\ y)$が$x>0$，$y>1$をみたすように動く．直線APが$x$軸の正の向きとなす角を$\theta$，点Pから$x$軸に垂線を下ろしたときの交点をQとする．以下の問いに答えよ．

(1)点Pの座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)四角形OAPQの面積$S$を$\theta$を用いて表せ．
(3)(2)で求めた$S$が最大となるときの$\sin \theta$の値を求めよ．
(4)四角形OAPQを$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積$V$を$\theta$を用いて表せ．
(5)(4)で求めた$V$が$\displaystyle \sin \theta=\frac{3}{4}$で最大となることを示せ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に点$\mathrm{P}_0(1,\ 1)$，$\mathrm{Q}_0(1,\ 0)$がある．ある$p \ (0<p<1)$に対して，点$\mathrm{P}_1(p,\ p)$，$\mathrm{Q}_1(p,\ 0)$を定め，さらに，自然数$n$について点$\mathrm{P}_{n+1}$，$\mathrm{Q}_{n+1}$を次のように定める．
\begin{itemize}
点$\mathrm{Q}_n$を通り直線$\mathrm{Q}_0 \mathrm{P}_1$と平行な直線と，直線$\mathrm{OP}_0$の交点を$\mathrm{P}_{n+1}$とする．
点$\mathrm{P}_{n+1}$を通り$y$軸と平行な直線と，$x$軸の交点を$\mathrm{Q}_{n+1}$とする．
\end{itemize}
また，$\triangle \mathrm{Q}_{n-1} \mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n$の面積を$S_n$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$S_1$を$p$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}_{n-1}$の$x$座標を$q$とするとき，点$\mathrm{Q}_n$の$x$座標を$p,\ q$を用いて表せ．
(3)$S_n$を$p,\ n$を用いて表せ．
(4)$n$を定数として，$p$を$0<p<1$の範囲で動かすとき，$S_n$を最大にする$p$とそのときの$S_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．
(5)(4)で求めた$S_n$に対して，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}nS_n$を求めよ．必要であれば，自然対数の底$e$について$\displaystyle \lim_{h \to 0}(1+h)^{\frac{1}{h}}=e$が成り立つことを用いてよい．

（図は省略）

四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA} \perp \mathrm{OB},\ \mathrm{OA} = 3,\ \mathrm{OB} = 4,\ \mathrm{OC} = 5$とする．$\triangle \mathrm{OAB}$の重心を$\mathrm{G}$とし，直線$\mathrm{CG}$は$\triangle \mathrm{OAB}$を含む平面に垂直とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{CG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$および$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．

平面上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$を
\[ \left( \begin{array}{c}
X \\
Y
\end{array} \right) =\left( \begin{array}{cc}
1 & a \\
a & 2
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right) \]
によって定められる点$\mathrm{Q}(X,\ Y)$に移す移動を考える．ここで，$a$は実数とする．楕円$C:x^2+4y^2=1$が与えられているとき，次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が楕円$C$上を動くとき，点$\mathrm{Q}(X,\ Y)$は円$D:X^2+Y^2=1$上を動くとする．このとき$a$の値を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が楕円$C$上を動くとき，点$\mathrm{Q}(X,\ Y)$は直線$\ell:Y=pX+q$上を動くとする．ただし$p,\ q$は実数とする．このとき$a$および$p,\ q$の値を求めよ．
(3)(2)において，点$\mathrm{P}(x,\ y)$が楕円$C$上を動くとき，点$\mathrm{Q}(X,\ Y)$の$X$の最大値，最小値を求めよ．

$a$を実数とし，$xy$平面上において，2つの放物線
\[ C:y=x^2,\quad D:x=y^2+a \]
を考える．次の問いに答えよ．

(1)$p,\ q$を実数として，直線$\ell:y=px+q$が$C$に接するとき，$q$を$p$で表せ．
(2)(1)において，直線$\ell$がさらに$D$にも接するとき，$a$を$p$で表せ．
(3)$C$と$D$の両方に接する直線の本数を，$a$の値によって場合分けして求めよ．

$\triangle$OABの辺OAを$1:2$に内分する点をC，辺OBを$3:2$に内分する点をDとする．$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AE}}=\frac{5}{3}\overrightarrow{\mathrm{AD}}$をみたす点をEとし，直線OEと直線BCとの交点をFとする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおく．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(3)$\text{FC}:\text{CB}$を求めよ．

放物線$C:y=x(x-a)$について，次の問に答えよ．ただし，$a>0$とする．

(1)直線$\ell:y=ax$と，$C$との交点で，原点とは異なる点の座標を求めよ．
(2)$C$と$x$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．
(3)$C$と$\ell$とで囲まれた図形$D$の面積を求めよ．
(4)点$(a,\ 0)$を通り，図形$D$の面積を2等分する直線の方程式を求めよ．

$k$を実数とする．$xy$平面上の放物線$C:y=x^2+2x-2$と直線$\ell:y=kx$が異なる2点で交わるとし，交点の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta$とする．ただし，$\alpha<\beta$である．$C$と$\ell$で囲まれた図形の面積を$S$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$(\beta-\alpha)^2$を$k$の式で表せ．
(2)$\displaystyle \int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\beta) \, dx=-\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3$であることを示せ．
(3)$S^2$の最小値とそのときの$k$の値を求めよ．