$\displaystyle I_1=\int_0^3 \sqrt{x^2+9} \, dx, I_2=\int_0^3 \frac{dx}{\sqrt{x^2+9}}$とする．

(1)次の等式がすべての実数$x$について成り立つように，定数$a,\ b$の値を定めなさい．
\[ \frac{x^2}{\sqrt{x^2+9}}=a\sqrt{x^2+9}+\frac{b}{\sqrt{x^2+9}} \]
(2)$I_1$において部分積分することにより，$I_1$を$I_2$で表しなさい．
(3)$\log (x+\sqrt{x^2+9})$の導関数を利用して，$I_2$を求めなさい．
(4)曲線$x^2-y^2=-9$と直線$y=3\sqrt{2}$で囲まれた部分の面積$S$を求めなさい．

曲線$C:y=x^2+px+q$と$y$軸との交点をQとし，$x$座標$t$が正である曲線$C$上の点をPとする．点Pにおける曲線$C$の接線を$\ell$とする．曲線$C$，接線$\ell$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_1$とし，曲線$C$と直線PQで囲まれた部分の面積を$S_2$とする．

(1)$\ell$の方程式を求めなさい．
(2)$S_1$を$t$で表しなさい．
(3)$S_1:S_2$を求めなさい．

$t$を実数とし，点$\mathrm{P}$の座標を$(t,\ -t^2)$とする．点Pと直線$\ell_1:2x+y+3=0$の距離を$d_1$とし，点$\mathrm{P}$と直線$\ell_2:2x-y+4=0$の距離を$d_2$とする．また，$d=d_1+d_2$とおく．

(1)$t=2$のとき，$d$の値を求めなさい．
(2)点$\mathrm{P}$が直線$\ell_1$上またはその上側にあるための$t$の条件を求めなさい．
(3)$(2)$のとき，$d$の最小値とそのときの$t$の値を求めなさい．

$t$を実数とし，点Pの座標を$(t,\ -t^2)$とする．点Pと直線$\ell_1:2x+y+3=0$の距離を$d_1$とし，点Pと直線$\ell_2:2x-y+4=0$の距離を$d_2$とする．また，$d=d_1+d_2$とおく．

(1)$t=2$のとき，$d$の値を求めなさい．
(2)点Pが直線$\ell_1$上またはその上側にあるための$t$の条件を求めなさい．
(3)$d$の最小値とそのときの$t$の値を求めなさい．

$2$次関数$f(x),\ g(x)$は，それぞれ
\begin{eqnarray}
& & f(x)=\frac{3x^2}{16}\int_0^1 f(t) \, dt -\frac{3x}{7}\int_{-1}^0 f(t) \, dt+7, \nonumber \\
& & (x-1)g(x) = \int_0^x g(t) \, dt -\frac{2x^3}{3} + 2x^2-2x+1 \nonumber
\end{eqnarray}
を満たすとする．次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$を求めよ．
(2)$g(x)$を求めよ．
(3)放物線$y=f(x)$の点$(4,\ f(4))$における接線を$\ell$とする．直線$\ell$と放物線$y=g(x)$とで囲まれた部分の面積を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{OA}=a$，$\mathrm{OB}=b$，$\angle \mathrm{AOB}=\theta$とおく．ただし，$a \geqq b$および$0^\circ < \theta < 90^\circ$とする．点$\mathrm{B}$から辺$\mathrm{OA}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{A}_1$とする．また点$\mathrm{A}_1$を通って辺$\mathrm{AB}$に平行な直線と，辺$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{B}_1$とする．次に点$\mathrm{B}_1$から辺$\mathrm{OA}_1$に下ろした垂線の足を$\mathrm{A}_2$とし，点$\mathrm{A}_2$を通って辺$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1$に平行な直線と，辺$\mathrm{OB}_1$との交点を$\mathrm{B}_2$とする．以下，この操作を続け，三角形の列
\[ \triangle \mathrm{OA}_1 \mathrm{B}_1,\ \triangle \mathrm{OA}_2 \mathrm{B}_2,\ \cdots,\ \triangle \mathrm{OA}_n \mathrm{B}_n \]
をとる．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{OA}_n \mathrm{B}_n$は，$\triangle \mathrm{OAB}$に相似であることを示せ．
(2)$\displaystyle \frac{\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n}{\mathrm{A}_{n-1} \mathrm{B}_{n-1}}$を$a,\ b,\ \theta$の式で表せ．
(3)$\triangle \mathrm{OA}_k \mathrm{B}_k$の面積を$S_k$とする．$a=2,\ b=1,\ \theta=30^\circ$のとき，$S_1+S_2+\cdots + S_n$を$n$の式で表せ．

$a>0$のとき，放物線$C:y=x^2$上の点$\mathrm{P}(a,\ a^2)$における$C$の接線を$\ell_1$とし，$\mathrm{P}$を通り$\ell_1$と垂直な直線を$\ell_2$とする．次の問いに答えよ．

(1)直線$\ell_2$と放物線$C$との交点のうち，点$\mathrm{P}$と異なる方を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を$a$の式で表せ．
(2)放物線$C$と直線$\ell_2$とで囲まれた部分の面積を$S$とする．$S$を$a$の式で表せ．
(3)(2)の$S$の最小値を求めよ．またそのときの$a$の値を求めよ．

$3$次関数$f(x)=x^3+ax^2+b$について，曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(t,\ f(t))$における曲線の接線を$\ell_t$とする．

(1)$\ell_t$の方程式を求めよ．
(2)$\ell_t$が原点を通るような$t$の値がただ$1$つに定まるための$a,\ b$の条件を求めよ．
(3)$a,\ b$が(2)の条件を満たすとき，点$(a,\ b)$が存在する領域を図示せよ．

鋭角三角形OABにおいて，$\text{OA} \geqq \text{OB}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．実数$t,\ s$を$0<t<1,\ 0<s<1$とする．辺OAを$t:(1-t)$の比に内分する点をP，辺OBを$s:(1-s)$の比に内分する点をQ，直線AQと直線BPとの交点をRとする．以下の問に答えよ．
\setlength\unitlength{1truecm}

（図は省略）


(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$t,\ s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OR}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$であるとき，$t,\ |\overrightarrow{a}|,\ |\overrightarrow{b}|,\ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を用いて$s$を表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OR}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$であるとき，$s \geqq t$となることを示せ．このとき，$s=t$ならば$\text{OA}=\text{OB}$となることを示せ．

鋭角三角形OABにおいて，$\text{OA} \geqq \text{OB}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．実数$t,\ s$を$0<t<1,\ 0<s<1$とする．辺OAを$t:(1-t)$の比に内分する点をP，辺OBを$s:(1-s)$の比に内分する点をQ，直線AQと直線BPとの交点をRとする．以下の問に答えよ．
\setlength\unitlength{1truecm}

（図は省略）


(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$t,\ s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OR}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$であるとき，$t,\ |\overrightarrow{a}|,\ |\overrightarrow{b}|,\ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を用いて$s$を表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OR}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$であるとき，$s \geqq t$となることを示せ．このとき，$s=t$ならば$\text{OA}=\text{OB}$となることを示せ．