数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を次のように定義する．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
a_1=5, b_1=3, \\
\left( \begin{array}{c}
a_{n+1} \\
b_{n+1}
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc}
5 & 3 \\
3 & 5
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
a_{n} \\
b_{n}
\end{array} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)
\end{array}
\right. \]
また，自然数$n$について$c_n=a_n^2-b_n^2$とおく．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)$c_n$を$n$を用いて表せ．
(2)$k$を自然数とするとき，自然数$\ell$について
\[ a_{k+\ell}=a_ka_\ell + b_kb_\ell, b_{k+\ell}=b_ka_\ell+a_kb_\ell \]
が成立することを，$\ell$に関する数学的帰納法によって示せ．
(3)$n > \ell$となる自然数$n,\ \ell$について
\[ b_{n+\ell}-c_\ell b_{n-\ell}=2a_nb_\ell \]
が成立することを示せ．
(4)$2$以上の自然数$n$について
\[ a_{2n}+\sum_{m=1}^{n-1}c_{n-m}a_{2m}=\frac{b_{2n+1}}{2b_1}-\frac{c_n}{2} \]
が成立することを示せ．

以下の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$は第2次導関数$f^{\prime\prime}(x)$が連続で，ある$a<b$に対して，$f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b)=0$を満たしているものとする．このとき
\[ f(b)-f(a)=\int_a^b \left( \frac{a+b}{2}-x \right) f^{\prime\prime}(x) \, dx \]
が成り立つことを示せ．
(2)直線道路上における車の走行を考える．ある信号で停止していた車が，時刻0で発進後，距離$L$だけ離れた次の信号に時刻$T$で到達し再び停止した．この間にこの車の加速度の絶対値が$\displaystyle \frac{4L}{T^2}$以上である瞬間があることを示せ．

点A$\displaystyle \left( a,\ \frac{1}{2} \right)$を不等式$y < 4x-4x^2$の表す領域内の点とし，点Aを通り傾き$m$の直線を$\ell$とする．直線$\ell$と放物線$y=4x-4x^2$で囲まれた部分の面積を$S$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$m$を変化させたとき，$S$の最小値を$g(a)$とする．$g(a)$を与える$m$を$a$を用いて表せ．
(3)$g(a)$を最大にする$a$の値を求めよ．また，そのときの直線$\ell$の方程式を求めよ．

$\triangle$ABCにおいて，$\text{AB}=3,\ \text{AC}=5,\ \text{BC}=2\sqrt{6}$とする．$\triangle$ABCの外心をOとし，Oから辺ABに下ろした垂線とABの交点をM，Oから辺ACに下ろした垂線とACの交点をN，直線AOと辺BCの交点をDとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の内積を求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{AO}}|$の値を求めよ．
(3)$\text{BD}:\text{DC}=s:1-s,\ \overrightarrow{\mathrm{AO}}=k\overrightarrow{\mathrm{AD}}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{MO}}$と$\overrightarrow{\mathrm{NO}}$をそれぞれ$k,\ s,\ \overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{AO}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．

実数$c$に対して，行列
\[ A=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & -c \\
c & 1
\end{array} \biggr) \]
で表される1次変換を$T$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$xy$平面上の同一直線上にない3点P，Q，Rが$T$によってそれぞれP$^\prime$，Q$^\prime$，R$^\prime$に移るとする．三角形P$^\prime$Q$^\prime$R$^\prime$の面積が三角形PQRの面積の$k$倍($k \geqq 1$)となる$c$の値を求めよ．
(2)楕円
\[ E:\frac{x^2}{4}+y^2=1 \]
上の点が$T$によって楕円$E^\prime$上の点に移るとする．楕円$E^\prime$上のすべての点が楕円$E$の周上または外部にあるための，$c$の条件を求めよ．

一辺の長さが$\sqrt{2}$の正四面体OABCにおいて，辺ABの中点をM，辺BCを$1:2$に内分する点をN，辺OCの中点をLとする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)3点L，M，Nを通る平面と直線OAの交点をDとする．$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)辺OBの中点Kから直線DN上の点Pへ垂線KPを引く．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．

放物線$y=x^2$を$C$とし，放物線$x-3=(y-7)^2$を$D$とする．$k$は定数として直線$y=2x+k$を$L$とする．$L$と$C$は異なる2点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わり，$L$と$D$は異なる2点$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$で交わるとする．

(1)$k$の値の範囲を求めよ．
(2)線分$\mathrm{PQ}$と線分$\mathrm{RS}$の長さの和が最大になるときの$k$の値を求めよ．

$f(x)=\{ x^2+(2-e)x+1 \} e^x$とする．ここで$e$は自然対数の底である．

(1)関数$f(x)$の極大値を求めよ．
(2)上で求めた極大値を$b$として，曲線$y=f(x)$と直線$y=b$で囲まれる部分の面積を求めよ．

$\ell,\ n,\ d$を自然数とする．このとき自然数の積$(2\ell +1)nd$は，ある自然数$a$と$2$以上の整数$m$を用いて
\[ (2 \ell+1)nd=\sum_{i=1}^m \{a+(i-1)d \} \]
と表せることを証明せよ．

$xy$平面上の楕円$4x^2+9y^2=36$を$C$とする．

(1)直線$y=ax+b$が楕円$C$に接するための条件を$a$と$b$の式で表せ．
(2)楕円$C$の外部の点$\mathrm{P}$から$C$に引いた$2$本の接線が直交するような点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．