$xy$平面上で考える．不等式$y < -x^2+16$の表す領域を$D$とし，不等式$|x-1|+|y| \leqq 1$の表す領域を$E$とする．このとき，以
下の問いに答えよ．

(1)領域$D$と領域$E$をそれぞれ図示せよ．
(2)A$(a,\ b)$を領域$D$に属する点とする．点A$(a,\ b)$を通り傾きが$-2a$の直線と放物線$y=-x^2+16$で囲まれた部分の面積を$S(a,\ b)$とする．$S(a,\ b)$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)点A$(a,\ b)$が領域$E$を動くとき，$S(a,\ b)$の最大値を求めよ．

原点を$\mathrm{O}$とする座標空間に，$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 0,\ 2)$，$\mathrm{C}(-2,\ 1,\ 3)$がある．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{B}$は$\displaystyle\frac{\pi}{2}$より大きいことを示せ．
(2)点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{BC}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{H}$とする．点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{OAH}$の面積を求めよ．

$k$は実数，$a,\ b,\ c,\ d$は$ad-bc=1$を満たす実数とする．行列$A=\left(
\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array}
\right)$の表す移動は以下の$3$条件を満たすとする．\\
\quad (イ)\ 直線$y=x$上の点は直線$y=x$上の点に移る．\\
\quad (ロ)\ 直線$y=-x$上の点は直線$y=-x$上の点に移る．\\
\quad (ハ)\ $x$軸上の点は直線$y=kx$上の点に移る．

(1)$k$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$A$を$k$で表せ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面における曲線$\displaystyle C: \frac{x^2}{4}+y^2=1$上に，点$\mathrm{P} \displaystyle\left( 1,\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$をとる．

(1)$C$の接線で直線$\mathrm{OP}$に平行なものをすべて求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$が$C$上を動くとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積の最大値と，最大値を与える$\mathrm{Q}$の座標をすべて求めよ．

$xy$平面上に曲線$C:y=x^2-x$と直線$\ell:y=x$がある．

(1)$\ell$上の点$\mathrm{P} \displaystyle \left( \frac{t}{\sqrt{2}},\ \frac{t}{\sqrt{2}}\right) (0 \leqq t \leqq 2\sqrt{2})$を通り，$\ell$と垂直な直線を$m$とする．$m$と$C$の共有点のうち，$x$座標が$0$以上のものを$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)$0 \leqq t \leqq 2\sqrt{2}$のとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値とそのときの$t$を求めよ．
(3)$C$と$\ell$で囲まれた部分を$\ell$を軸として$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(-1,\ 0)$と直線$\ell$があり，$\mathrm{A}$と$\ell$の距離と$\mathrm{B}$と$\ell$の距離の和が$1$であるという．以下の問に答えよ．

(1)$\ell$は$y$軸と平行でないことを示せ．
(2)$\ell$が線分$\mathrm{AB}$と交わるとき，$\ell$の傾きを求めよ．
(3)$\ell$が線分$\mathrm{AB}$と交わらないとき，$\ell$と原点との距離を求めよ．

座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(-1,\ 0)$と直線$\ell$があり，$\mathrm{A}$と$\ell$の距離と$\mathrm{B}$と$\ell$の距離の和が$1$であるという．以下の問に答えよ．

(1)$\ell$は$y$軸と平行でないことを示せ．
(2)$\ell$が線分$\mathrm{AB}$と交わるとき，$\ell$の傾きを求めよ．
(3)$\ell$が線分$\mathrm{AB}$と交わらないとき，$\ell$と原点との距離を求めよ．

放物線$y=x^2$上の点$(a,\ a^2)$における接線を$\ell_a$とする．

(1)直線$\ell_a$が不等式
\[ y> -x^2+2x-5 \]
の表す領域に含まれるような$a$の範囲を求めよ．
(2)$a$が(1)で求めた範囲を動くとき，直線$\ell_a$が通らない点$(x,\ y)$全体の領域$D$を図示せよ．
(3)連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
(y-x^2)(y+x^2-2x+5) \leqq 0 \\
y(y+5) \leqq 0
\end{array}
\right. \]
の表す領域を$E$とする．$D$と$E$の共通部分の面積を求めよ．

座標平面上の放物線$C$を$y=x^2+1$で定める．$s,\ t$は実数とし$t<0$を満たすとする．点$(s,\ t)$から放物線$C$へ引いた接線を$\ell_1,\ \ell_2$とする．

(1)$\ell_1,\ \ell_2$の方程式を求めよ．
(2)$a$を正の実数とする．放物線$C$と直線$\ell_1,\ \ell_2$で囲まれる領域の面積が$a$となる$(s,\ t)$を全て求めよ．

行列$X=\left(
\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array}
\right),\ Y=\left(
\begin{array}{cc}
-2 & 3 \\
3 & 6
\end{array}
\right)$は$XY=YX$を満たす．次の問いに答えよ．

(1)$c,\ d$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$X^2=E,\ b>0$のとき，$X$を求めよ．ただし，$E$は単位行列とする．
(3)$xy$平面上に直線$\ell$があり，(2)で求めた行列$X$の表す$1$次変換によって$\ell$上の点はすべて$\ell$上の点に移される．$\ell$の方程式を求めよ．