$0<t<3$とする．曲線$C:y=f(x)=|x^2-3x|+x-3$と曲線$C$上の点$(t,\ f(t))$における接線$\ell$とで囲まれた$2$つの部分の面積の和は，$\displaystyle t=\frac{[タ]}{[チ]}$のとき最小となり，その値は$[ツ] \sqrt{[テ]}+[ト]$である．

座標平面上の$3$点を$\mathrm{A}(0,\ 6)$，$\displaystyle \mathrm{B} \left( -\frac{6}{5},\ 0 \right)$，$\mathrm{C}(6,\ 0)$とする．$2$つの半直線$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$と接する$2$次曲線を
\[ y=ax^2+bx+c \]
とし，$a$を$c$で表すと，$a=[ク]$である．

この$2$次曲線のうち点$(4,\ 1)$を通る曲線は$2$つある．このうち$y$切片の小さい方の$2$次曲線は
\[ y=[ケ]x^2+[コ]x-[サ] \]
であり，この曲線と$x$軸で囲まれる部分の面積は$[シ]$である．

面積$1$の正三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．正の実数$t$に対し，線分$\mathrm{AM}$を$1:t$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，さらに直線$\mathrm{BP}$と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{Q}$，直線$\mathrm{CP}$と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{R}$とする．次の設問に答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{\mathrm{QC}}{\mathrm{AQ}}$を$t$を用いて表せ．
(2)三角形$\mathrm{MQR}$の面積が最大となる$t$の値と，そのときの面積を求めよ．

放物線$C:y^2=4px (p>0)$の焦点$\mathrm{F}(p,\ 0)$を通る$2$直線$\ell_1$，$\ell_2$は互いに直交し，$C$と$\ell_1$は$2$点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$で，$C$と$\ell_2$は$2$点$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{Q}_2$で交わるとする．次の問に答えよ．

(1)$\ell_1$の方程式を$x=ay+p$と置き，$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$の座標をそれぞれ$(x_1,\ y_1)$，$(x_2,\ y_2)$とする．$y_1+y_2$，$y_1y_2$を$a$と$p$で表せ．
(2)$\displaystyle \frac{1}{\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2}+\frac{1}{\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2}$は$\ell_1$，$\ell_2$のとり方によらず一定であることを示せ．

中心$\mathrm{A}(1,\ 1)$，半径$1$の円を$C$とする．原点を通り円$C$と異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わる直線を$\ell$とする．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$における円$C$の$2$本の接線が直交するとき，次の問に答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{APQ}$の面積$S$を求めよ．
(2)直線$\ell$の傾きを求めよ．
(3)$2$本の接線の交点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

$[ア]$～$[オ]$にあてはまる数または式を記入せよ．

(1)どのような$2$次関数$f(x)$に対しても
\[ \int_0^2 f(x) \, dx \]
の値は，$f(0)$，$f(1)$，$f(2)$を用いて$[ア]$と表せる．
(2)$k$を実数とする．$xy$平面上の直線$y-2=k(x-1)$と放物線$y=x^2$によって囲まれる図形の面積は，$k=[イ]$のとき最小値$[ウ]$をとる．
(3)$p$を$5$以上の素数とする．$p^3$を$p-4$で割った余りが$4$であるとき，$p=[エ]$である．
(4)$\displaystyle \sum_{n=1}^{2013} \frac{\sin \displaystyle\frac{2n\pi}{7}-\cos \displaystyle\frac{2n\pi}{7}}{|\sin \displaystyle\frac{2n\pi|{7}-\cos \displaystyle\frac{2n\pi}{7}}}=[オ]$

空間内に平面$P$がある．空間内の図形$A$に対し，$A$の各点から$P$に下ろした垂線と$P$との交点の全体を，$A$の$P$への正射影とよぶ．次の問に答えよ．

(1)平面$Q$が平面$P$と角$\displaystyle \theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$で交わっているとする．すなわち，$P$と$Q$の交線に垂直な平面で$P,\ Q$を切ってできる$2$直線のなす角が$\theta$であるとする．$Q$上の長さ$1$の線分の$P$への正射影の長さの最大値と最小値を求めよ．
(2)$(1)$の$Q$を考える．$Q$上の$1$辺の長さが$1$である正三角形の$P$への正射影の面積を求めよ．
(3)$1$辺の長さが$1$である正四面体$T$の$P$への正射影$T^\prime$はどんな形か．また，$T^\prime$の面積の最大値を求めよ．

$2$つの曲線$y=x^3-x \cdots\cdots①$および$y={(x-a)}^3-(x-a) \cdots\cdots②$がある．ただし，$a>0$とする．次の問に答えよ．

(1)$②$が$x=x_1$で極大値，$x=x_2$で極小値をとり，$x=x_1,\ x_2$における曲線$②$上の点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とするとき，直線$\mathrm{AB}$の方程式を求めよ．
(2)曲線$①,\ ②$が異なる$2$点で交わるとき，$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$(2)$のとき，曲線$①,\ ②$の交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とする．$\beta-\alpha$を$a$を用いて表せ．
(4)$(2)$のとき，曲線$①,\ ②$で囲まれた部分の面積$S$を$a$を用いて表せ．

次の問に答えよ．

(1)${13}^{13}$を$144$で割ったときの余りは$[ア]$である．
(2)空間内に$3$点$\mathrm{A}(1,\ 2,\ 3)$，$\mathrm{B}(3,\ 5,\ 2)$，$\mathrm{C}(1,\ 2,\ 1)$がある．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell$としたとき，点$\mathrm{C}$との距離が最小となる$\ell$上の点の座標は
\[ \left( \frac{[ウ]}{[イ]},\ \frac{[エ]}{[イ]},\ \frac{[オ]}{[イ]} \right) \]
である．

直線$x+y=1$に接する楕円
\[ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \quad (a>0,\ b>0) \]
を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を$V$とする．

$\displaystyle a^2=\frac{[ヌ]}{[ニ]},\ b^2=\frac{[ネ]}{[ニ]}$のとき，$V$は最大値$\displaystyle \frac{[ハ] \sqrt{3} \pi}{[ノ]}$をとる．