空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)方程式$2x^2+3x-4=0$の解は$[$1$]$である．
(2)$a,\ b$を定数とし，$a>0$とする．$1$次関数$y=ax+b (-1 \leqq x \leqq 5)$の値域が$-2 \leqq y \leqq 2$であるとき，$a,\ b$の値は$a=[$2$]$，$b=[$3$]$である．
(3)放物線$y=x^2+x+2$と直線$y=ax-a$が共有点をもたないような定数$a$の値の範囲は$[$4$]$である．
(4)多項式$P(x)=x^3+ax^2+2x+5a$を$x-3$で割った余りが$5$であるとき，定数$a$の値は$[$5$]$であり，商は$[$6$]$である．
(5)半径$r$の円$x^2+y^2=r^2$と直線$4x+3y-5=0$が接するとき，$r=[$7$]$である．また，接点の座標は$[$8$]$である．
(6)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{BC}=\sqrt{3}$，$\mathrm{CA}=\sqrt{5}$のとき，$\cos A$の値は$[$9$]$，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[$10$]$である．また，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$[$11$]$である．

空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)$30$以下の自然数の集合を全体集合$U$とし，$U$の部分集合で$3$の倍数の集合を$A$，$U$の部分集合で$4$の倍数の集合を$B$とする．このとき，要素を書き並べる方法で表すと，$A \cap B=[$1$]$，$\overline{A} \cap B=[$2$]$である．
(2)$3$個の数字$0,\ 1,\ 2$を，重複を許して並べてできる$5$桁の整数は$[$3$]$個ある．そのうち，$0,\ 1,\ 2$の$3$個の数字がすべて使われている整数は$[$4$]$個ある．
(3)関数$y=\sin x \cos x (0 \leqq x \leqq \pi)$の最小値は$[$5$]$であり，関数$\displaystyle y=\sin \left( x+\frac{2}{3} \pi \right) (0 \leqq x \leqq \pi)$の最大値は$[$6$]$である．
(4)円$(x-a)^2+y^2=4$と直線$\displaystyle y=x-\frac{a}{2}$が接するとき，定数$a$の値は$a=[$7$]$または$a=[$8$]$である．
(5)不等式$\displaystyle 9^{x+\frac{1}{2}}-10 \cdot 3^x+3 \leqq 0$の解は$[$9$]$である．
(6)方程式$\displaystyle \frac{1}{2}x^3+mx+n=0$の解の$1$つが$-1-\sqrt{3}i$のとき，実数$m,\ n$の値は$m=[$10$]$，$n=[$11$]$である．

空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)$x=\sqrt{7}+3$，$y=\sqrt{7}-3$のとき，$xy=[$1$]$，$x^2+y^2=[$2$]$，$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=[$3$]$である．
(2)$(x+9)^2-(x+9)-12$を因数分解すると$[$4$]$となる．
(3)連立不等式
\setstretch{2}
\[ \left\{ \begin{array}{l}
2x-3 \leqq 4x+6 \\
\displaystyle 3x+2 \leqq \frac{5x+3}{2}
\end{array} \right. \]
\setstretch{1.3}
の解は$[$5$]$である．
(4)方程式$2x^2-kx+3=0$が実数解をもたないような定数$k$の値の範囲は$[$6$]$である．
(5)$a,\ b$を定数とし，$a>0$，$b>0$とする．関数$y=ax^2$のグラフに，$y$軸上の点$(0,\ -b)$から接線を引く．$2$つの接線のうち，傾きが正であるものを$\ell$とし，接線$\ell$と放物線$y=ax^2$の接点を点$\mathrm{P}$とする．このとき，接線$\ell$の方程式と点$\mathrm{P}$の座標を$a$と$b$を用いて表すと，$\ell$の方程式は$[$7$]$，$\mathrm{P}$の座標は$[$8$]$となる．
(6)$2$次関数$y=f(x)$のグラフ$C$は，点$(0,\ 5)$を通り，$C$上の点$(-1,\ f(-1))$における接線は，$y=-11x+3$である．このとき，$f(x)=[$9$]$である．また，放物線$C$の$x \leqq 2$の部分と$x$軸および直線$x=2$で囲まれた部分の面積は$[$10$]$である．
(7)方程式$\displaystyle 5^{2x-3}-25^{x-1}+125^{\frac{2x}{3}}=121$の解は$[$11$]$である．

平面上に$2$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(0,\ 1)$がある．$t$を$\displaystyle 0 \leqq t<\frac{1}{2}$を満たす実数とする．点$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{OA}$上で$\mathrm{AP}=t$となるようにとる．直線$y=1$上の$\mathrm{A}$より右側の部分に点$\mathrm{S}$を$\mathrm{PO}=\mathrm{PS}$となるようにとる．$\angle \mathrm{OPS}$の二等分線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{R}$とする．

(1)$\mathrm{AS}$の長さを$t$で表せ．
(2)$\mathrm{OR}$の長さを$t$で表せ．
(3)$t$が$\displaystyle 0 \leqq t<\frac{1}{2}$の範囲を動くとき，$\mathrm{PR}$の長さの最小値を求めよ．また，$\mathrm{PR}$の長さを最小にする$t$の値を求めよ．
（図は省略）

$2$直線$x \cos \theta+y \sin \theta=6$，$x \sin \theta-y \cos \theta=8$の交点を$\mathrm{P}(\theta)$とおく．このとき，次の問に答えなさい．

(1)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{4}$のとき点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{\pi}{4} \right)$を$\mathrm{A}$とおくと$\mathrm{A}$の座標は$([ア] \sqrt{[イ]},\ [ウ] \sqrt{[エ]})$である．
(2)点$\mathrm{P}(\theta)$の座標$(x,\ y)$を$\theta$で表すと$x=[オ] \cos \theta+[カ] \sin \theta$，$y=[キ] \sin \theta-[ク] \cos \theta$である．
(3)$\theta$が$\displaystyle \frac{\pi}{4} \leqq \theta \leqq \frac{3\pi}{4}$を動くとき，点$\mathrm{P}(\theta)$の軌跡は中心$([ケ],\ [コ])$，半径$[サシ]$の円の一部（円弧）を動き，その円弧の長さは$[ス] \pi$である．
(4)点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{3\pi}{4} \right)$を$\mathrm{B}$，点$\mathrm{P}(\theta)$を$\mathrm{P}$とおく．このときベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$の内積は
\[ \overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}=[セソタ]([チ]-\sqrt{[ツ]} \sin \theta) \]
である．また，$\theta$が$\displaystyle \frac{\pi}{4} \leqq \theta \leqq \frac{3\pi}{4}$を動くとき，この内積が最小となる点$\mathrm{P}$の座標は$([テ],\ [ト])$である．

$2$点$\mathrm{A}(2,\ 6)$，$\mathrm{B}(6,\ 2)$を結ぶ直線$\mathrm{AB}$の中点$\mathrm{P}$と原点$\mathrm{O}$を通る直線$\mathrm{OP}$がある．

(1)点$\mathrm{P}$の座標は$([ア],\ [イ])$であり，直線$\mathrm{OP}$の傾きは$[ウ]$である．
(2)$x$の$2$次関数のグラフで定める$2$つの放物線$C_1$と$C_2$が，点$\mathrm{P}$で共通接線$\mathrm{OP}$をもち，さらに$C_1$は点$\mathrm{A}$，$C_2$は点$\mathrm{B}$を通るとすると

$C_1$は$y=x^2+[エオ]x+[カキ]$
$C_2$は$y=[ク]x^2+[ケ]x+[コサシ]$

となる．

曲線$C:y=x^3$上の点$\mathrm{P}(t,\ t^3)$における接線を$\ell$とする．$\ell$の$\mathrm{P}$とは異なる$C$との交点を$\mathrm{Q}$とし，$C$と$\ell$とで囲まれた部分を$S$とする．このとき，次の問いに答えよ．ただし，$t>0$とする．

(1)接線$\ell$の方程式と，点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)原点$\mathrm{O}$と$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の中点を通る直線を$m$とする．$m$の方程式を求めよ．
(3)$(2)$の直線$m$により$S$は$2$つの部分に分けられる．$x$軸で$x>0$の一部を含む部分の面積を$s_1$とし，もう一方の面積を$s_2$とする．このとき$\displaystyle \frac{s_1}{s_2}$を求めよ．

関数$y=|(x+1)(x-2)|$のグラフと直線$y=ax+b$が$4$個の異なる共有点をもつとする．このとき，点$\mathrm{P}(a,\ b)$の存在する領域を図示し，その面積を求めよ．

$f(x)=2x^3-6x+1$とし，曲線$y=f(x)$を$C$とする．

(1)$C$上の点$(a,\ f(a))$における接線の方程式を求めよ．
(2)$(1)$で求めた接線を$y$軸方向に$+1$平行移動した直線を$\ell$とする．$\ell$と$C$が接するときの$a$の値を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)極限値$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x(e^{3x}-1)}{1-\cos x}$を求めよ．

(2)関数$y=f(x)$は$0 \leqq x \leqq 3$において連続で，$f(x)>0$とする．曲線$y=f(x)$，$x$軸，および直線$x=0$，$x=3$により囲まれた図形を$D$とする．$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は$6 \pi$であり，$D$を直線$y=-1$のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は$13 \pi$である．$D$の面積を求めよ．