関数$f(x)=e^x-x$を考える．

(1)$f(x)$の最小値を求めなさい．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸，および$2$直線$x=-1$，$x=1$で囲まれた図形を$x$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積を求めなさい．

放物線$C:y=x^2$上の点$\mathrm{P}$に対し，$\mathrm{P}$における$C$の法線を$L(\mathrm{P})$とする（$L(\mathrm{P})$は，$\mathrm{P}$を通り，$\mathrm{P}$での$C$の接線に直交する直線である）．点$\mathrm{Q}(a,\ 1)$に対し，$L(\mathrm{P})$が$\mathrm{Q}$を通るような$C$上の点$\mathrm{P}$がちょうど$3$個あるための$a$の範囲を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$x>0$のとき，$1+2 \sin x<x+e^x$が成り立つことを示せ．
(2)$x \geqq 0$の範囲にあって，$2$つの曲線$y=1+2 \sin x,\ y=x+e^x$と直線$x=\pi$とで囲まれる領域を$x$軸のまわりに$1$回転して得られる立体の体積を求めよ．

平面上に放物線$C_1:y=x^2$と円$C_2:(x-1)^2+(y-2)^2=5$がある．

(1)$C_1$上の点$\mathrm{P}$であって，$\mathrm{P}$における$C_1$の法線が点$(1,\ 2)$を通るようなものをすべて求めよ．ただし，$\mathrm{P}$における$C_1$の法線とは，$\mathrm{P}$を通り$\mathrm{P}$における$C_1$の接線に直交する直線のことである．
(2)$C_1$と$C_2$の共有点をすべて求めよ．

次の$[　]$にあてはまる適切な数値を記入せよ．

(1)数直線上を動く点$\mathrm{P}$が原点の位置にある．$2$個のさいころを同時に投げる試行を$\mathrm{T}$とし，試行$\mathrm{T}$の結果によって，$\mathrm{P}$は次の規則で動く．
（規則）$2$個のさいころの出た目の積が偶数ならば$+2$だけ移動し，奇数ならば$+1$だけ移動する．
試行$\mathrm{T}$を$n$回繰り返し行ったときの$\mathrm{P}$の座標を$x_n$とすると，$x_1=2$となる確率は$[ア]$であり，$x_3=3$かつ$x_4=5$となる確率は$[イ]$である．また，$\mathrm{P}$が座標$4$以上の点に初めて到達するまで試行$\mathrm{T}$を繰り返し行うとき，試行回数の期待値は$[ウ]$である．
(2)平面上に$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=|2 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=1$をみたしている．このとき，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=[エ]$である．また，実数$s,\ t$が条件$1 \leqq s+3t \leqq 3$，$s \geqq 0$，$t \geqq 0$をみたしながら動くとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$で定められた点$\mathrm{P}$の存在する範囲の面積は$[オ]$である．

$xy$平面上に$2$曲線
\[ C_1:y=2x \sqrt{1-x^2},\quad C_2:y=\sqrt{1-x^2} \]
がある．$C_1$，$C_2$上に$2$点$\mathrm{P}_1(t,\ 2t \sqrt{1-t^2})$，$\mathrm{P}_2 (t,\ \sqrt{1-t^2}) (-1<t<1)$をとり，$\mathrm{P}_1$における$C_1$の接線$\ell_t$と，$\mathrm{P}_2$における$C_2$の接線$m_t$について考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$C_1$および$C_2$の概形を同じ$xy$平面上に描け．ただし，曲線の凹凸と変曲点は調べなくてよい．また，$\mathrm{P}_1$と$\mathrm{P}_2$が一致するときの$t$の値を求めよ．
(2)$2$直線$\ell_t$と$m_t$が平行になるときの$t$がみたすべき条件を，$t$についての$2$次方程式で表し，その解$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$を求めよ．
(3)$\ell_t$と$m_t$が交点をもつとき，その交点の$y$座標を$y_t$とする．

(i) $y_t$を$t$を用いて表せ．
(ii) $y_t>0$となる$t$の値の範囲を$(2)$で求めた$\alpha,\ \beta$を用いて表し，この範囲における$y_t$の最小値を求めよ．

座標平面において次の$2$つの$2$次曲線を考える．

(1)原点$\mathrm{O}$と直線$x=-2$からの距離が等しい点の軌跡の方程式は
\[ y^2=[ア](x+[イ]) \]
である．
(2)$2$直線$\displaystyle y=\frac{3}{4}x-\frac{9}{4}$，$\displaystyle y=-\frac{3}{4}x+\frac{9}{4}$を漸近線にもち，$2$つの焦点の座標が$(-2,\ 0)$，$(8,\ 0)$である双曲線の方程式は
\[ \frac{(x-[ウ])^2}{[エ][オ]}-\frac{y^2}{[カ]}=1 \]
である．
(3)$(1)$と$(2)$の$2$つの曲線の共有点は$[キ]$個ある．

関数$f(x)=(x-7) |x-1|$について，次の問に答えよ．

(1)$a$を実数とするとき，方程式$f(x)=a$の異なる実数解の個数を調べよ．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=x-7$の交点の座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x) (0 \leqq x \leqq 3)$と$2$直線$y=x-7$，$x=3$で囲まれた$2$つの部分の面積の和$S$を求めよ．

関数$f(x)=2x^3-3x^2-11x+25$と直線$\ell:x-y+2=0$について，次の問いに答えよ．

(1)曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{A}(1,\ f(1))$と直線$\ell$の距離を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$と直線$\ell$の距離$d$を$x$を用いて表せ．
(3)曲線$y=f(x) (x \geqq 0)$を$C$とする．点$\mathrm{P}$が$C$上を動くとき，点$\mathrm{P}$と直線$\ell$の距離の最小値を求めよ．

座標平面において，媒介変数$t$の範囲が$0 \leqq t \leqq \pi$であるサイクロイド
\[ x=t-\sin t,\quad y=1-\cos t \]
を$C$とする．

(1)曲線$C$上で$y$座標が最大になる点を$\mathrm{A}$とすると，$\mathrm{A}$の座標は$([ア],\ [イ])$である．
(2)直線$y=x+k$がこの曲線$C$の$0<t \leqq \pi$の部分に接するのは$\displaystyle t=\frac{\pi}{[ウ]}$のときであり，その接点の座標は$\displaystyle \left( \frac{\pi}{[エ]}-[オ],\ [カ] \right)$である．このとき，$\displaystyle k=[キ]-\frac{\pi}{[ク]}$である．
(3)曲線$C$と$x$軸，および点$\mathrm{A}$を通り$y$軸に平行な直線$\ell$で囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ]} \pi$である．
(4)$(2)$の接線，$x$軸および直線$\ell$とで囲まれた図形から$(3)$の図形を除いた部分の面積は$\displaystyle \frac{\pi^2}{[サ]}-\frac{\pi}{[シ]}+[ス]$である．