曲線$C:y=x^2-4x+7$上の点$\mathrm{P}(a,\ a^2-4a+7)$における$C$の接線を$\ell_1$とする．また，$C$と$y$軸および$\ell_1$で囲まれた図形の面積を$S$とする．ただし，$a>0$とする．

(1)$\ell_1$の方程式を$a$で表せ．
(2)$S$を$a$で表せ．
(3)$a=3$とする．正の$y$切片を持ち，$\ell_1$と直交する直線を$\ell_2$とする．$\ell_1$，$\ell_2$および$y$軸で囲まれた三角形の面積が$\displaystyle \frac{1}{2}S$であるとき，$\ell_2$の方程式を求めよ．

座標平面上に放物線$\displaystyle D:y=\frac{1}{2}x^2+x+2$と$D$上の点$\mathrm{P}(-2,\ 2)$がある．また，$\mathrm{P}$における$D$の接線を$\ell$とする．

(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)円$C$は，半径が$r$で中心が$(r,\ 2)$であり，直線$\ell$と接しているとする．$C$と$\ell$との接点$\mathrm{A}$の$x$座標を$a$とするとき，$\mathrm{A}$を通り$\ell$と垂直に交わる直線の方程式を$a$で表せ．また，その直線が$C$の中心を通ることを用いて$r$を$a$で表せ．
(3)$(2)$の$r$の値を求めよ．
(4)$(2)$の$C$の外側で$D$と$C$と$\ell$とで囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$1$より大きい実数$a$が$\displaystyle a^3+\frac{1}{a^3}=18$を満たすとき，$\displaystyle a+\frac {1}{a}$の値は$\displaystyle a+\frac {1}{a}=[ア]$であり，$\displaystyle a^2-\frac{1}{a^2}$の値は$\displaystyle a^2-\frac{1}{a^2}=[イ]$である．
(2)$0<\theta<\pi$とする．方程式$\sin \theta=\sin 2\theta$を解くと$\theta=[ウ]$であり，方程式$\sin \theta+\sin 2\theta=\sin 3\theta$を解くと$\theta=[エ]$である．
(3)$a>\sqrt{2}$のとき，$x$の不等式$\displaystyle \left( \frac{1}{a^2-1} \right)^x<a^4-2a^2+1$を解くと$[オ]$である．また，不等式$(y-1)(\log_23-\log_32^y)>0$を解くと$[カ]$である．
(4)実数$a$に対し，曲線$\displaystyle C:y=x^2+ax+\frac{3}{2}$と直線$\ell:y=2x+1$を考える．$C$と$\ell$が異なる$2$点で交わるとき，$a$のとりうる値の範囲は$[キ]$である．また，$0<x<1$において$C$と$\ell$が異なる$2$点で交わるとき，$a$のとりうる値の範囲は$[ク]$である．

放物線$C:y=x^2-4x$と，$C$上の点$(3,\ -3)$における接線を$y$軸方向に$a$だけ平行移動した直線$\ell$を考える．

(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$a=1$のとき，同一の座標平面に$C$と$\ell$を図示せよ．
(3)$x>0$において，$C$と$\ell$が異なる$2$点で交わるとき，$a$のとりうる値の範囲を求めよ．
(4)$(3)$のとき，$C$の下側で$y$軸と$C$と$\ell$とで囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

座標平面上に，$2$つの円$C_1:x^2+y^2=1$，$C_2:(x-2)^2+(y-1)^2=4$があり，$C_1$と$C_2$の共通接線を$n_1,\ n_2$（ただし$n_1$の傾きより$n_2$の傾きの方が大きい）とする．また，$C_1$と$C_2$の中心を結ぶ直線を$\ell$とし，$C_1$と$C_2$の$2$つの交点を結ぶ直線を$m$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)直線$\ell$の方程式，および$\ell$と$n_1$の交点の座標を求めよ．
(2)直線$n_1$と直線$\ell$とのなす角を$\displaystyle \alpha \left( \text{ただし} 0 \leqq \alpha \leqq \frac{\pi}{2} \right)$とし，$\tan \alpha$および$\tan 2\alpha$の値を求めよ．
(3)直線$n_2$の方程式を求めよ．
(4)直線$m$の方程式を求めよ．
(5)$3$つの直線$n_1,\ n_2,\ m$で囲まれた三角形の面積を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)空間に点$\mathrm{P}(-4,\ -6,\ 3)$がある．いま，$2$点$\mathrm{A}(2,\ -3,\ 0)$，$\mathrm{B}(-4,\ 0,\ 12)$を結ぶ直線上に点$\mathrm{H}$をとり，直線$\mathrm{PH}$が直線$\mathrm{AB}$と垂直になるようにする．点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(2)次の$(ⅰ),\ (ⅱ)$に答えよ．

(i) $\displaystyle \tan \frac{\theta}{2}=t$とおく．$\sin \theta$を$t$を用いて表せ．
(ii) $\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=-\frac{1}{5} (-\pi<\theta<\pi)$とする．$\displaystyle \tan \frac{\theta}{2}$の値を求めよ．

(3)$1$から$n$までの番号が$1$つずつ書かれた$n$枚の同じ形のカードがある．ただし，$n$は$2$以上の整数である．この$n$枚のカードから，元に戻さずに$1$枚ずつ$2$回無作為に抜き出すとする．$2$回目に抜き出したカードの番号が$1$回目の番号より大きければ，$2$回目のカードの番号を得点とする．そうでなければ得点は$0$とする．次の問に答えよ．

(i) $m$は$1 \leqq m \leqq n$を満たす整数とする．$2$回目のカードの番号が$m$となる確率を求めよ．
(ii) $m$は$(ⅰ)$と同じとする．得点が$m$となる確率を求めよ．
(iii) 得点が$0$となる確率を求めよ．
\mon[$\tokeishi$] 得点の期待値を求めよ．

$2$つの$2$次曲線$C_1:y=x^2$，$C_2:y^2=x$がある．次の各問に答えよ．

(1)$C_1$，$C_2$のいずれにも接する直線の方程式を求めよ．
(2)$C_1$上の点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$を通る直線で$C_2$と接するものがちょうど$2$本引けるような$p$のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)$C_1$上の点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$を通る直線で$C_2$と接するものがちょうど$2$本引け，さらにその$2$本の接線がいずれも$C_1$と$\mathrm{P}$以外の点でも交わるとする．このような$p$のとり得る値の範囲を求めよ．
(4)$C_1$上の相異なる$2$点$\mathrm{Q}_1(q_1,\ {q_1}^2)$，$\mathrm{Q}_2(q_2,\ {q_2}^2)$について，直線$\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2$が$C_2$と接するための条件を求めよ．
(5)$C_1$上の点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$を通る直線で$C_2$と接するものがちょうど$2$本引け，さらにその$2$本の接線がいずれも$C_1$と$\mathrm{P}$以外の点でも交わるとする．いま，その$2$本の接線と$C_1$との交点のうち，$\mathrm{P}$以外の交点をそれぞれ$\mathrm{Q}_1$および$\mathrm{Q}_2$とする．このとき，直線$\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2$は再び$C_2$と接することを示せ．

次の各問に答えよ．

(1)双曲線$\displaystyle H:\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$について，次の問に答えよ．

(i) 双曲線$H$の焦点の座標を求めよ．
(ii) 双曲線$H$について正の傾きをもつ漸近線の方程式を求めよ．
(iii) $(ⅱ)$で求めた漸近線と直交する直線が$H$と接するとき，その接点の座標を求めよ．

(2)不等式$9a>b,\ \log_ab>\log_ba^4+3$をすべて満たす整数$a,\ b$の値を求めよ．
(3)直線$x-y+2=0$を$\ell$とし，直線$x+y-3=0$を$m$とする．$1$次変換$f$によって，直線$\ell$は$m$に移り，また直線$m$は$\ell$に移る．このとき，次の問に答えよ．

(i) $1$次変換$f$を表す行列$A$を求めよ．
(ii) $A^{2013}$を求めよ．

図に示す一辺の長さが$10a (a>0)$の正方形$\mathrm{ABCD}$がある．辺上を車両が動くとき，次の問に答えよ．

(1)車両$\mathrm{Q}$が，一定の速度$a$で点$\mathrm{C}$を出発し，点$\mathrm{D}$を経由して点$\mathrm{A}$まで動くものとする．出発時刻を$t=0$とし，時間$t$経過後の点$\mathrm{A}$と車両$\mathrm{Q}$との直線距離を$t$と$a$を用いて表せ．
(2)$(1)$の条件下で，点$\mathrm{A}$と車両$\mathrm{Q}$との間で通信が行われる．通信に必要な電力$y$は，$2$点間の直線距離の$2$乗である．時間$t$経過後の電力$y$の変化を横軸に$t$，縦軸を$y$としたグラフに示せ．
(3)$(1)$の条件下で，車両$\mathrm{P}$が，一定の速度$a$で点$\mathrm{A}$を出発し，点$\mathrm{B}$を経由して点$\mathrm{C}$へ向かうものとする．出発時刻を$t=0$とし，時間$t$経過後の車両$\mathrm{P}$と車両$\mathrm{Q}$との直線距離の$2$乗$z$の変化を横軸に$t$，縦軸を$z$としたグラフに示せ．
（図は省略）

$xy$平面上に，円
\[ \begin{array}{l}
C_1:x^2-12x+y^2-4y+15=0 \\
C_2:x^2-4x+y^2-2y-15=0
\end{array} \]
があり，$C_1$と$C_2$との$2$つの交点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．次の問に答えよ．

(1)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線の方程式を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$および原点を通る円の方程式を求めよ．
(3)原点を中心とし，$C_1$に外接する円の半径を求めよ．