曲線$C:y=xe^{-x^2}$上の点$(t,\ te^{-t^2})$における接線を$\ell$とする．$t>1$の範囲で$\ell$と$x$軸の交点の$x$座標を最小にするような$t$を$t_0$とし，そのときの$\ell$を$\ell_0$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$t_0$を求めよ．
(2)$0<x<t_0$の範囲で$C$は上に凸であることを示せ．
(3)$C$と$\ell_0$と$y$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)座標平面上の原点$\mathrm{O}$を通り，$x$軸とのなす角が$30^\circ$で傾きが正の直線と，放物線$y=x^2$の交点で$\mathrm{O}$と異なるものを$\mathrm{A}$とおく．点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(2)線分$\mathrm{OA}$を$1$辺とする正方形$\mathrm{OABC}$をつくる．ただし，点$\mathrm{C}$は第$2$象限にとる．点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標をそれぞれ求めよ．
(3)直線$\mathrm{OB}$に垂直で，放物線$y=x^2$に接する直線の方程式を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)座標平面上の原点$\mathrm{O}$を通り，$x$軸とのなす角が$30^\circ$で傾きが正の直線と，放物線$y=x^2$の交点で$\mathrm{O}$と異なるものを$\mathrm{A}$とおく．点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(2)線分$\mathrm{OA}$を$1$辺とする正方形$\mathrm{OABC}$をつくる．ただし，点$\mathrm{C}$は第$2$象限にとる．点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標をそれぞれ求めよ．
(3)直線$\mathrm{OB}$に垂直で，放物線$y=x^2$に接する直線の方程式を求めよ．

$a,\ b$を実数とし，$i$を虚数単位とする．$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の解の$1$つが$1-\sqrt{2}i$であるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$a,\ b$の値を求めよ．
(2)$2$次関数$y=x^2+ax+b$のグラフの軸と頂点を求め，そのグラフをかけ．
(3)曲線$y=x^2+ax+b$と直線$y=3$とで囲まれた部分の面積を求めよ．

曲線$C:y=|x^2-9|-4x$と直線$L:y=k$（$k$は実数）が，すべて異なる$4$つの交点をもつとき，$k$のとりうる範囲は，$m<k<M$となる．$M-m$の値を求めよ．

円$C:x^2+y^2-4x-5=0$，直線$L:y=2x+k$について考える（$k$は正の実数定数）．円$C$と直線$L$は，異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わる．線分$\mathrm{PQ}$の長さが$4$となるとき，$k$の値を求めよ．

円$C:x^2+y^2-15x-10y+50=0$，直線$L:y=mx$（$m$は正の実数）について考える．円$C$と直線$L$は，異なる$2$つの点$\mathrm{P}(p,\ mp)$，$\mathrm{Q}(q,\ mq) (q>p)$で交わることとする．円$C$と$x$軸は，異なる$2$つの点$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$で交わる（$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$のうち，原点に近い点を$\mathrm{S}$とする）．線分$\mathrm{QR}$の長さが，線分$\mathrm{PS}$の長さの$2$倍となるとき，$\displaystyle \frac{13mp}{12}$の値を求めよ．

放物線$y=x^2-6x+5$と直線$y=k (-4<k<0)$（$k$は実数）との$2$つの異なる交点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$と点$\mathrm{C}(3,\ 0)$で作られる三角形$\mathrm{ABC}$の面積の最大値を$M$とするとき，$\displaystyle \frac{3 \sqrt{3}}{4}M$の値を求めよ．

放物線$C:y=x^2-x+2$と直線$L:y=-5x-a$が点$(b,\ c)$で接するとき，$a+b+c$の値を求めよ．

曲線$C_1:y=-x^2+2x-3$と曲線$C_2:y=-x^2+8x-21$の両方に接する直線を$L$とする．曲線$C_1$と曲線$C_2$と直線$L$で囲まれる部分の面積を$S$とする．$4S$の値を求めよ．