座標平面上に，半円$C:x^2+y^2=4$（ただし，$x>0$）と放物線$D:x^2-6y+3=0$がある．半円$C$上の点$\mathrm{P}(2 \cos \theta,\ 2 \sin \theta)$（ただし，$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$）における半円$C$の接線を$\ell$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)半円$C$と放物線$D$との交点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)直線$\ell$が放物線$D$に点$\mathrm{R}$において接するとき，$\theta$の値と点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(3)$(2)$のとき，半円$C$と放物線$D$および直線$\ell$によって囲まれる部分の面積を求めよ．

座標空間において，$xy$平面内で不等式$|x| \leqq 1$，$|y| \leqq 1$により定まる正方形$S$の$4$つの頂点を$\mathrm{A}(-1,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{C}(1,\ -1,\ 0)$，$\mathrm{D}(-1,\ -1,\ 0)$とする．正方形$S$を，直線$\mathrm{BD}$を軸として回転させてできる立体を$V_1$，直線$\mathrm{AC}$を軸として回転させてできる立体を$V_2$とする．

(1)$0 \leqq t<1$を満たす実数$t$に対し，平面$x=t$による$V_1$の切り口の面積を求めよ．
(2)$V_1$と$V_2$の共通部分の体積を求めよ．

曲線$C:y=e^x$上の点$\mathrm{P}(t,\ e^t)$における接線を$\ell$とする．次の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$\ell$と$x$軸の交点，接線$\ell$と$y$軸の交点の座標をそれぞれ求めよ．
(3)曲線$C$，接線$\ell$，$y$軸および直線$x=1$で囲まれた図形の面積$S(t)$を求めよ．
(4)$0 \leqq t \leqq 1$とする．このとき，$S(t)$の最大値およびそのときの$t$の値，$S(t)$の最小値およびそのときの$t$の値をそれぞれ求めよ．

最初，数直線上の原点に点$\mathrm{P}$を置き，コインを$1$回投げるごとに以下のように点$\mathrm{P}$の位置を定める．

\mon[$①$] 点$\mathrm{P}$の座標が$-2$以上$3$以下のとき，コインの表が出れば正の向きに$1$だけ点$\mathrm{P}$を進め，裏が出れば負の向きに$1$だけ点$\mathrm{P}$を進める．
\mon[$②$] 点$\mathrm{P}$の座標が$-3$または$4$のとき，コインの表裏にかかわらず点$\mathrm{P}$を動かさない．

コインを投げて$①,\ ②$に従い点$\mathrm{P}$の位置を定める操作を$6$回行う．この$6$回の操作によって定めた点$\mathrm{P}$の最終的な位置の座標を$a$とする．ただし，コインの表と裏が出る確率はそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)$a=-3$となる確率と$a=4$となる確率をそれぞれ求めよ．
(2)$a$の期待値を求めよ．

右図のような四角形$\mathrm{ABCD}$について，すべての内角の大きさは$180^\circ$ \\
未満とする．$\triangle \mathrm{BCD}$の重心を$\mathrm{P}$，$\triangle \mathrm{CDA}$の重心を$\mathrm{Q}$，$\triangle \mathrm{DAB}$の重 \\
心を$\mathrm{R}$，$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{S}$とする．ただし，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{R}$は直線$\mathrm{AC}$ \\
上になく，点$\mathrm{Q}$と点$\mathrm{S}$は直線$\mathrm{BD}$上にないものとする．このとき， \\
次の各問に答えよ．
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(1)$\mathrm{AC} \para \mathrm{RP}$を示せ．
(2)$\mathrm{AB} \para \mathrm{QP}$を示せ．
(3)四角形$\mathrm{ABCD}$が円に内接するとき，$4$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$は同一円周上にあることを示せ．

半径$1$の円と長さ$2$の線分がある．この線分の一方の端点を，円の中心に合わせて円上に固定した図形を考える．線分の端点で，円の中心とは異なるものを$\mathrm{P}$とする．この図形を下の図$1$のように$xy$平面上に置く．すなわち，中心が点$(0,\ 1)$，$\mathrm{P}$が点$(0,\ -1)$と一致するように置く．次に，$x$軸上で正の方向に，すべらないように円を半回転させる．下の図$2$は円が$\theta$だけ回転したときの状態を表している．$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で，点$\mathrm{P}$が描く曲線$C$について考察する．次の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)図$2$における点$\mathrm{P}$の$x$座標と$y$座標を，それぞれ$\theta$を用いて表せ．
(2)曲線$C$上にあって，$x$座標が最小となる点，最大となる点，$y$座標が最小となる点，最大となる点について，それぞれの座標を求めよ．
(3)曲線$C$と$2$直線$y=-1$および$x=\pi$によって囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

関数$f(x)$を$\displaystyle f(x)=\int_0^1 (1-t)\{ a(x-t)+b\} \, dt$で定めるとき，次の問に答えよ．

(1)$f(x)$を$a,\ b,\ x$で表せ．
(2)直線$y=ax+b$が点$(1,\ 1)$を通るとき，$\displaystyle \int_0^1 \{f(x)\}^2 \, dx$を最小にする$a$の値を求めよ．

座標平面上の曲線$K$を$y=x^3-x+1$とする．

(1)点$(t,\ t^3-t+1)$における$K$の接線の方程式を$t$を用いて表せ．
(2)点$(1,\ 5)$を通る直線$\ell$が$K$と接するとき，接点の座標を求めよ．
(3)直線$\ell$と$K$で囲まれた図形の面積を求めよ．ただし，$\displaystyle \int x^3 \, dx=\frac{x^4}{4}+C$（$C$は積分定数）を用いてよい．

座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(t,\ t)$，$\mathrm{B}(t-1,\ -t+1)$をとり，線分$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．

(1)$t$がすべての実数を動くとき，点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．
(2)直線$\mathrm{AB}$の方程式を$t$を用いて表せ．
(3)$(2)$で求めた方程式を満たす実数$t$が存在するための$x,\ y$についての条件を求め，条件を満たす点$(x,\ y)$全体の領域$D$を座標平面内に図示せよ．
(4)$(1)$で求めた点$\mathrm{P}$の軌跡の方程式を$y=f(x)$とする．連立不等式
\[ y \geqq x,\quad y \geqq -x,\quad y \leqq 1,\quad y \geqq f(x) \]
の表す領域と領域$D$の共通部分の面積を求めよ．

座標空間における$5$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(3,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ \sqrt{2},\ 1)$，$\displaystyle \mathrm{C} \left( \frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{\sqrt{6}}{6},\ \frac{\sqrt{3}}{6} \right)$，$\mathrm{R}(0,\ -1,\ \sqrt{2})$について次の問に答えよ．

(1)$\angle \mathrm{AOC}$，$\angle \mathrm{BOC}$，$\angle \mathrm{AOR}$，$\angle \mathrm{BOR}$を求めよ．
(2)$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$は同一平面上にあることを示せ．
(3)$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は正の実数$s,\ t$について$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$をみたすものとする．$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{Q}$が$1$直線上にあるとき，四面体$\mathrm{OPQR}$の体積の最小値とそのときの$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．