一辺の長さが$1$の正十角形$D$が平面上にある．$D$の外接円を$C$とおき，$C$の中心を$\mathrm{O}$，$C$の半径を$R$とおく．$D$の頂点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\cdots$，$\mathrm{P}_{10}$は$C$上でこの順に反時計回りに並んでいるとする．点$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$から直線$\mathrm{OP}_1$へ下ろした垂線をそれぞれ$\mathrm{P}_2 \mathrm{H}_2$，$\mathrm{P}_3 \mathrm{H}_3$とする．

(1)$\displaystyle R=\frac{1}{2 \sin \theta_1}$を満たす$\theta_1 \ (0^\circ<\theta_1<90^\circ)$を求めよ．
(2)$\mathrm{P}_1 \mathrm{H}_2=\sin \theta_2$，$\mathrm{H}_2 \mathrm{H}_3=\cos \theta_3$を満たす$\theta_2,\ \theta_3 \ (0^\circ<\theta_2<90^\circ,\ 0^\circ<\theta_3<90^\circ)$を求めよ．
(3)等式$\mathrm{P}_1 \mathrm{H}_2+\mathrm{H}_2 \mathrm{H}_3+\mathrm{H}_3 \mathrm{O}=R$を用いて，$\sin 18^\circ$の値を求めよ．
(4)$D$の面積を$S$とするとき，$S^2$の値を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上に$2$点$\mathrm{P}(\cos t,\ 0)$，$\mathrm{Q}(0,\ \sin t)$をとる．ここで$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{4}$とする．直線$\mathrm{PQ}$に関して$\mathrm{O}$と対称な点を$\mathrm{R}$とするとき，以下の問いに答えよ．ただし，直線$\mathrm{PQ}$が原点$\mathrm{O}$を通るときは$\mathrm{R}$を$\mathrm{O}$と定める．

(1)点$\mathrm{R}$の座標が$(\sin 2t \sin t,\ \sin 2t \cos t)$で表されることを証明せよ．
(2)$t$が$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{4}$の範囲を動くとき，点$\mathrm{R}$の描く曲線を$C$と表す．曲線$C$上で，$y$座標が最大となる点の座標を求めよ．
(3)曲線$C$と直線$y=x$で囲まれる図形の面積を求めよ．

$x>0$の範囲で関数$f(x)$を，$\displaystyle f(x)=\int_0^2 (|t^2-2xt|+xt) \, dt$により定めるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$0<x \leqq 1$のとき，$f(x)$を求めよ．
(2)$x$が$x>0$の範囲を動くとき，$f(x)$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=4x+k$が異なる$2$点で交わるように，定数$k$の値の範囲を定めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$m,\ n$を自然数とするとき，次の不定積分を計算せよ．
\[ \int \cos mx \cos nx \, dx \]
(2)$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上に$2$点$\mathrm{P}(\cos t,\ 0)$，$\mathrm{Q}(0,\ \sin t)$をとる．ここで$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{4}$とする．直線$\mathrm{PQ}$に関して$\mathrm{O}$と対称な点を$\mathrm{R}$とするとき，以下の問いに答えよ．ただし，直線$\mathrm{PQ}$が原点$\mathrm{O}$を通るときは$\mathrm{R}$を$\mathrm{O}$と定める．

(i) $\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(ii) $t$が$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{4}$の範囲を動くときに$\mathrm{R}$の描く曲線と，直線$y=x$により囲まれる図形の面積を求めよ．

双曲線$\displaystyle C:\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$上に点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{4}{\cos \theta},\ 3 \tan \theta \right)$，$\mathrm{B}(4,\ 0)$をとる．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．$\mathrm{A}$における$C$の接線と$\mathrm{B}$における$C$の接線との交点を$\mathrm{D}$とし，$C$の焦点のうち$x$座標が正であるものを$\mathrm{F}$とおく．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{D}$の座標を求めよ．
(2)$\displaystyle \tan \frac{\theta}{2}=m$とおく．$\tan \angle \mathrm{DFB}$を$m$を用いて表せ．
(3)直線$\mathrm{DF}$は$\angle \mathrm{AFB}$を$2$等分することを証明せよ．

関数$f(x)$を$f(x)=x \sin x$とおく．また，曲線$y=f(x)$上の点$(\alpha,\ f(\alpha))$における接線の方程式を$y=g(x)$とおく．$\alpha>0$のとき，以下の問いに答えよ．

(1)$g(x)$を$\alpha$を用いて表せ．
(2)直線$y=g(x)$が原点を通るような最小の$\alpha$を$\alpha_1$とし，$\alpha=\alpha_1$のときの$g(x)$を$h(x)$とおく．$\alpha_1$の値と$h(x)$を求めよ．
(3)$0 \leqq x \leqq \alpha_1$において$h(x) \geqq f(x)$であることを示せ．
(4)$0 \leqq x \leqq \alpha_1$において直線$y=h(x)$と曲線$y=f(x)$で囲まれてできる図形の面積を求めよ．

$xy$平面において，方程式$x+3y=6$で表される直線を$\ell_0$とし，方程式$y=x^2-1$で表される放物線を$C_0$とする．$\ell_0$に関して$C_0$と対称な放物線を$C_1$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)点$\mathrm{P}(a,\ b)$と点$\mathrm{Q}(c,\ d)$が$\ell_0$に関して対称であるとき，$a,\ b$を用いて$c$と$d$を表しなさい．
(2)$C_1$上の点のうち，$x$座標が最も大きい点の座標を求めなさい．
(3)原点を通る直線$\ell_1$に関して$C_1$と対称な放物線を$C_2$とする．$C_2$が放物線$x=-y^2$を平行移動して得られる放物線に一致するとき，$\ell_1$の方程式を求めなさい．

原点を出発点として数直線上を動く点$\mathrm{P}$がある．次のような試行を考える．さいころを$1$回投げて，$5$以上の目が出たときは点$\mathrm{P}$を正の向きに$1$だけ進め，$4$以下の目が出たときは負の向きに$2$だけ進める．このような試行について，次の問いに答えなさい．

(1)この試行を$3$回行うとき，点$\mathrm{P}$が原点の位置にくる確率を求めなさい．
(2)この試行を$9$回行うとき，点$\mathrm{P}$が$3$回目と$9$回目に原点の位置にくる確率を求めなさい．
(3)この試行を$9$回行うとき，点$\mathrm{P}$が$3$回目と$9$回目のみ原点の位置にくる確率を求めなさい．

原点を出発点として数直線上を動く点$\mathrm{P}$がある．次のような試行を考える．さいころを$1$回投げて，$5$以上の目が出たときは点$\mathrm{P}$を正の向きに$1$だけ進め，$4$以下の目が出たときは負の向きに$2$だけ進める．このような試行について，次の問いに答えなさい．

(1)この試行を$3$回行うとき，点$\mathrm{P}$が原点の位置にくる確率を求めなさい．
(2)この試行を$9$回行うとき，点$\mathrm{P}$が$3$回目と$9$回目に原点の位置にくる確率を求めなさい．
(3)この試行を$9$回行うとき，点$\mathrm{P}$が$3$回目と$9$回目のみ原点の位置にくる確率を求めなさい．

$x<1$に対して，$f(x)=|x| \log (1-x)$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$y=f(x)$は$x=0$で微分可能かどうかを調べよ．
(2)関数$y=f(x)$のグラフと直線$y=-x$の交点を求めよ．
(3)不定積分$\displaystyle \int x \log (1-x) \, dx$を求めよ．
(4)$x \leqq 0$において関数$y=f(x)$のグラフと直線$y=-x$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．