平面上で$2$つの円$S,\ S^\prime$が点$\mathrm{P}$で内接している．ただし$S^\prime$が$S$より小さいとする．円$S,\ S^\prime$の中心をそれぞれ$\mathrm{O}$，$\mathrm{O}^\prime$とおく．円$S^\prime$上にあって直線$\mathrm{PO}^\prime$上にはない点$\mathrm{Q}$をとる．直線$\mathrm{PQ}$と円$S$との$\mathrm{P}$とは異なる交点を$\mathrm{A}$，直線$\mathrm{AO}$と円$S$との$\mathrm{A}$とは異なる交点を$\mathrm{B}$，直線$\mathrm{BO}^\prime$と円$S$との$\mathrm{B}$とは異なる交点を$\mathrm{C}$，直線$\mathrm{CQ}$と円$S$との$\mathrm{C}$とは異なる交点を$\mathrm{D}$とする．

(1)$\mathrm{AO} \para \, \mathrm{QO}^\prime$を示せ．
(2)$\mathrm{DB}=\mathrm{BP}$を示せ．

平面上の$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が，$\mathrm{OA}=5$，$\mathrm{OB}=3$，$\angle \mathrm{AOB}=75^\circ$，$4 \overrightarrow{\mathrm{OC}}+3 \overrightarrow{\mathrm{CA}}+5 \overrightarrow{\mathrm{CB}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たしている．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$2$直線$\mathrm{AB}$，$\mathrm{OC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}:\mathrm{DB}$および$\mathrm{OD}:\mathrm{DC}$を求めよ．
(3)四角形$\mathrm{OACB}$および三角形$\mathrm{OAC}$の面積を求めよ．

曲線$\displaystyle C_1:\frac{x^2}{4}+y^2=1 \ (x \geqq 0)$と曲線$C_2:x^2+y^2=1 \ (x \geqq 0)$がある．曲線$C_1$の点$\mathrm{P}(\sqrt{s},\ \sqrt{t}) \ (s>0,\ t>0)$における法線を$\ell$とする．次に答えよ．

(1)$s$を$t$を用いて表せ．また，直線$\ell$の方程式を$t$を用いて表せ．
(2)直線$\ell$が曲線$C_2$に接するときの点$\mathrm{P}$の座標および接点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は(2)で求めた点とし，点$(0,\ 1)$を$\mathrm{R}$とする．曲線$C_1$，弧$\mathrm{RQ}$および線分$\mathrm{PQ}$で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

平面上の$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が，$\mathrm{OA}=5$，$\mathrm{OB}=3$，$\angle \mathrm{AOB}=75^\circ$，$4 \overrightarrow{\mathrm{OC}}+3 \overrightarrow{\mathrm{CA}}+5 \overrightarrow{\mathrm{CB}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たしている．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$2$直線$\mathrm{AB}$，$\mathrm{OC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}:\mathrm{DB}$および$\mathrm{OD}:\mathrm{DC}$を求めよ．
(3)四角形$\mathrm{OACB}$および三角形$\mathrm{OAC}$の面積を求めよ．

座標平面上の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の半円$C:x^2+y^2=1 \ (y>0)$上の点を$\mathrm{P}$とする．$a>1$に対して$x$軸上の定点を$\mathrm{A}(a,\ 0)$とし，直線$\mathrm{AP}$と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{Q}$を通り$x$軸に平行な直線と直線$\mathrm{OP}$との交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$\mathrm{OP}$が$x$軸の正の方向となす角を$\theta$，$\mathrm{OR}=r$とするとき，直線$\mathrm{AQ}$の方程式を$a,\ \theta,\ r$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$が$C$上を動くとき，点$\mathrm{R}$のえがく曲線の方程式を求めよ．
(3)(2)で得られた曲線の$a=\sqrt{2}$であるときの概形をかけ．

$3$次関数$f(x)$は$x=1$と$x=3$で極値をとり，曲線$y=f(x)$は点$(0,\ 1)$と点$(1,\ 3)$を通るとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$上の点$(t,\ f(t))$における接線の方程式を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$に接し，原点$(0,\ 0)$を通る直線の本数を求めよ．

座標平面上に，直線$\displaystyle y=\frac{4}{3}x$と$y$軸の両方に接する円$C$がある．その円$C$の中心の座標を$(a,\ b)$とする．ただし，$a>0$かつ$b<0$とする．次の問いに答えよ．

(1)$b$を$a$を用いて表せ．
(2)点$(0,\ 3)$と点$(a,\ b)$を通る直線を$\ell$とし，$\ell$と$x$軸との交点の座標を$(t,\ 0)$とおく．このとき，$t$を$a$を用いて表せ．また，$a \to \infty$のときの$t$の極限値を求めよ．

$t$を$0 \leqq t \leqq \sqrt{3}-1$をみたす実数とする．座標平面上に$6$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\mathrm{B}(\sqrt{3},\ 0)$，$\mathrm{P}(t-1,\ 0)$，$\mathrm{Q}(t,\ 1)$，$\mathrm{R}(t+1,\ 0)$がある．$2$直線$\mathrm{PQ}$と$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{M}$，$2$直線$\mathrm{QR}$と$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{N}$とする．次の問いに答えよ．

(1)$2$点$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$の$x$座標をそれぞれ求めよ．
(2)三角形$\mathrm{OAB}$と三角形$\mathrm{PQR}$の共通部分の面積を$S$とおく．$S$を$t$を用いて表せ．
(3)(2)で求めた$S$が最大となるような$t$の値を求めよ．

直線$y=mx \ (m \neq 0)$を$\ell$とし，行列$\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$で表される平面上の$1$次変換$f$は次の二つの条件を満たすとする．

$\ell$の各点は$f$で動かない．
$f$は点$\mathrm{A}(1,\ 0)$を，$\mathrm{A}$を通り$\ell$に平行な直線上の点に移す．

このとき，次の問いに答えよ．

(1)$a,\ c,\ d$を$b,\ m$を用いて表せ．
(2)$ad-bc$の値を求めよ．
(3)$f$により平面上の任意の点$\mathrm{P}$は，$\mathrm{P}$を通り$\ell$に平行な直線上の点に移ることを示せ．

平行四辺形$\mathrm{ABCD}$を底面とする四角錐$\mathrm{OABCD}$を考える．線分$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{B}^\prime$，線分$\mathrm{OC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{C}^\prime$とし，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}^\prime$，$\mathrm{C}^\prime$を通る平面と直線$\mathrm{OD}$の交点を$\mathrm{D}^\prime$とする．また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OD^\prime}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$の何倍か．
(3)三角錐$\mathrm{AOB}^\prime \mathrm{D}^\prime$の体積は，三角錐$\mathrm{AOBD}$の体積の何倍か．
(4)四角錐$\mathrm{OAB}^\prime \mathrm{C}^\prime \mathrm{D}^\prime$の体積は，四角錐$\mathrm{OABCD}$の体積の何倍か．