原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上を運動する点$\mathrm{P}(x,\ y)$が
\[ x=\sin t,\quad y=\sin 2t \quad \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
で表されるとき，点$\mathrm{P}$の描く曲線を$C$とする．（$C$は右図のように \\
なっている．）以下の各問に答えよ．
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(1)曲線$C$と$x$軸が囲む図形の面積を求めよ．
(2)$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$のとき，点$\mathrm{P}$における$C$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$のとき，(2)の接線$\ell$の傾きが負になる$t$の範囲を求めよ．
(4)$t$が(3)で求めた範囲にあるとき，$\ell$と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とし，三角形$\mathrm{OPQ}$と三角形$\mathrm{OPR}$の面積をそれぞれ$S$と$T$とする．$c=\cos t$として，$S,\ T$をそれぞれ$c$を用いて表せ．
(5)(4)の$S$と$T$について$S=T$が成り立つとき，直線$\mathrm{OP}$の方程式を求めよ．

$f(x)=x^3-x+5$として，曲線$y=f(x)$を$C$とする．点$\mathrm{P}(a,\ f(a))$における$C$の接線を$\ell$，法線を$n$とする．以下の各問に答えよ．ただし，点$\mathrm{P}$における$C$の法線とは，点$\mathrm{P}$を通り，かつ点$\mathrm{P}$における$C$の接線に直交する直線のことである．

(1)$\ell,\ n$の方程式をそれぞれ求めよ．
(2)$\ell$と$C$の共有点で，$\mathrm{P}$以外のものの個数を求めよ．
(3)$\displaystyle |a|<\frac{1}{\sqrt{3}}$のときには，$n$と$C$との共有点が$\mathrm{P}$以外にも存在することを示せ．

数直線上の動点$\mathrm{P}$はさいころを投げて偶数が出れば$+1$，奇数が出れば$-1$移動する．$\mathrm{P}$の最初の位置（座標）を$\mathrm{P}_0=0$とし，さいころを$k$回投げたときの$\mathrm{P}$の位置（座標）を順に$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\cdots$，$\mathrm{P}_k$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)さいころを$4$回投げたとき，$\mathrm{P}_4=2$となる確率を求めよ．
(2)さいころを$8$回投げたとき，$\mathrm{P}_8=n$となる確率を$n$を用いて表せ．ただし，$n$は$-8 \leqq n \leqq 8$をみたす整数である．
(3)さいころを$4$回投げたとき，$\mathrm{P}_1+\mathrm{P}_2+\mathrm{P}_3+\mathrm{P}_4$が$0$以上となる確率を求めよ．
(4)さいころを$3$回投げたとき，$\mathrm{P}_1+\mathrm{P}_2-\mathrm{P}_3$の期待値を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，内部の点を$\mathrm{P}$とし，直線$\mathrm{AP}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{PB}}+2 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{AP}}$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(2)比$\mathrm{AP}:\mathrm{PD}$と$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}$を求めよ．
(3)直線$\mathrm{AP}$が$\triangle \mathrm{PBC}$の外接円の中心を通るとする．その外接円の半径を$1$とし，$\angle \mathrm{BPC}=120^\circ$とするとき，辺$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．
(4)(3)と同じ条件のもとで，$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PC}}$の内積を求めよ．

座標平面上に，点$\mathrm{A}(0,\ -2)$と円$C:x^2+(y-2)^2=4$がある．円$C$上の点$\mathrm{P}$に対し，線分$\mathrm{AP}$の中点を$\mathrm{M}$，$\mathrm{M}$を通り$\mathrm{AP}$に垂直な直線を$\ell$とする．下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$が円$C$上を動くとき，点$\mathrm{M}$の軌跡を求めよ．
(2)直線$\ell$が円$C$に接するとき，点$\mathrm{M}$の座標を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$が円$C$上を動くとき，直線$\ell$が通る点全体の領域を求め，図示せよ．

$2$つの円
\[ \left\{ \begin{array}{l}
C_1:x^2+y^2=5, \\
C_2:x^2+y^2-8x+6y=0
\end{array} \right. \]
について，次の設問に答えよ．

(1)$2$つの円$C_1,\ C_2$の共有点を通る直線の$y$切片を求めよ．
(2)$2$つの円$C_1,\ C_2$の共有点と$C_2$の中心$\mathrm{O}_2$を通る円$C_3$の方程式を求めよ．

関数$f(x)$を
\[ f(x)=2 \sin \left( \frac{1}{2} \left( x+\frac{\pi}{3} \right) \right) \quad (0 \leqq x \leqq 2\pi) \]
とする．このとき，次の設問に答えよ．

(1)曲線$y=f(x)$と$y$軸との交点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸との交点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$のグラフを描け．
(4)$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$を結んだ直線を$\ell$とする．曲線$y=f(x)$と直線$\ell$で囲まれた領域の面積を求めよ．

座標平面上の$2$つの直線$\ell,\ m$を，それぞれ
\[ \ell:y=\frac{1}{\sqrt{3}}x,\quad m:y=-\frac{1}{\sqrt{3}}x \]
とし，$\ell$上に点$\mathrm{A}(\sqrt{3}s,\ s)$を，$m$上に点$\mathrm{B}(\sqrt{3}t,\ -t)$をとる． \\
ただし，$s>0$，$t>0$とする．さらに，正三角形$\mathrm{ABC}$を，頂点$\mathrm{C}$が直線$\mathrm{AB}$に関して原点$\mathrm{O}$と同じ側になるように定める．このとき，以下の問いに答えよ．
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(1)点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が同一円周上にあることを示し，点$\mathrm{C}$が$y$軸上にあることを証明せよ．
(2)点$\mathrm{C}$の$y$座標を$s,\ t$の式で表せ．
(3)点$\mathrm{D}(X,\ Y)$を，直線$\mathrm{AB}$に関して点$\mathrm{C}$と対称な点とする．このとき，$X$と$Y$をそれぞれ$s,\ t$の式で表せ．
(4)線分$\mathrm{AB}$の長さを$s,\ t$の式で表せ．
(5)点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が線分$\mathrm{AB}$の長さを$\sqrt{3}$に保ちながら動くとき，点$\mathrm{D}$の軌跡を求め，その概形を図示せよ．

以下の問に答えよ．

(1)$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$である二等辺三角形$\mathrm{ABC}$において辺$\mathrm{AC}$上に$\mathrm{AD}=\mathrm{BD}=\mathrm{BC}$となる点$\mathrm{D}$をとることができるとき，$\displaystyle \sin \frac{A}{2}$はいくらか．
(2)実数の組$(x,\ y)$が連立不等式$\left\{ \begin{array}{l}
x^2+y^2 \leqq 4 \\
y \geqq \displaystyle\frac{x^2}{\sqrt{2}}
\end{array} \right.$を満たすとき，$\sqrt{2}x+y$の最大値と最小値を求めよ．
(3)座標空間の$2$点$\mathrm{A}(1,\ -2,\ -1)$，$\mathrm{B}(4,\ 2,\ 4)$を通る直線$\ell_1$上にあり，原点までの距離が$34$の点を$\mathrm{C}$（$\mathrm{C}$の$x$座標は正とする）．点$\mathrm{A}$を通り方向ベクトル$\overrightarrow{h}=(4,\ -3,\ -5)$をもつ直線を$\ell_2$とする．このとき，$\mathrm{C}$と$\ell_2$を含む平面において，$\ell_2$に関して$\mathrm{C}$と対称な点$\mathrm{D}$の座標を求めよ．

$\displaystyle 0<a<\frac{1}{3},\ b>0$とする．放物線$y=x^2-2a^2x$の$x \geqq 0$の部分を曲線$C$とする．直線$\ell:y=b$と$C$とが$0<x<a$の範囲で交わっている．さらに，$C$と$\ell$と$y$軸で囲まれる部分の面積と，$C$と$\ell$と直線$x=a$で囲まれる部分の面積が等しい．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$b$を$a$を用いて表せ．
(2)$b$を最大にする$a$の値と，そのときの$b$の値を求めよ．