$x$軸，$y$軸，$z$軸を座標軸，原点を$\mathrm{O}$とする座標空間において，$z$軸 \\
を中心軸とする半径$1$の円柱を考える．次に，$x$軸を含み$xy$平面と \\
のなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{4}$となる平面を$\alpha$とし，平面$\alpha$による円柱の切り口の \\
曲線を$C$とする．また，点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$とする．さらに，曲線$C$上 \\
の点$\mathrm{P}$から$xy$平面に下ろした垂線を$\mathrm{PQ}$とし，$\angle \mathrm{AOQ}=\theta$ \ \\
$(0 \leqq \theta<2\pi)$とする．このとき，次の問に答えよ．
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(1)点$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{A}$を通り$z$軸に平行な直線を$\ell$とする．$\ell$によって円柱の側面を切り開いた展開図の上に，曲線$C$の概形をかけ．
(3)図のように，平面$\alpha$と$yz$平面の交線を$Y$軸とする．$xY$平面における曲線$C$の方程式を求め，その概形をかけ．
（図は省略）

次の問いに答えよ．

(1)関数$y=x \log x-x \ (x>0)$の増減を調べ，そのグラフをかけ．
(2)$a$を正の実数とする．曲線$C:y=\log (x+1)$上の点$(t,\ \log (t+1))$における接線$\ell_t$が，曲線$C_a:y=a \log x$上の点$(s,\ a \log s)$における接線にもなっているとき，$t$と$s$の関係を$a$を含まない式で表せ．
(3)任意に与えられた$t>-1$に対して，直線$\ell_t$が曲線$C_a$の接線にもなっているような$a$が唯一つ存在すること，および$a>1$であることを示せ．
(4)直線$\ell_t$が曲線$C_a$の接線になっているとき，その接点の$x$座標を$s(t)$とかくことにする．$s(t)$を$t$の関数とみて増減を調べ，さらに$\displaystyle \lim_{t \to \infty}(s(t)-t)$を求めよ．

次の$[　]$の中を適当に補いなさい．

(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(-1,\ 2)$，$\overrightarrow{b}=(x,\ 1)$について，$2 \overrightarrow{a}-3 \overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}$が垂直になるように，実数$x$を定めると$x=[　]$．
(2)青玉$10$個，黄玉$10$個，黒玉$10$個，緑玉$10$個，赤玉$10$個の合計$50$個が入った壺がある．最初に$1$個とり出して，見ずに箱にしまっておく．その後，壺から$1$個ずつ玉を戻さずに$3$回とり出したら，$3$個とも赤玉であった．箱にしまっておいた玉が赤玉である確率は$[　]$．
(3)曲線$y=-x(x-2)$と$x$軸で囲まれた面積を，直線$y=(-a+2)x$が$2$等分するとき，定数$a$を定めると$a=[　]$．

双曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x}+\frac{4}{3}$を$C_1$，曲線$\displaystyle y=-\frac{1}{3}x^3+a$を$C_2$，$C_2$と$x$軸の交点を通る$y$軸と平行な直線を$L$とする．ただし$a$は実数とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$C_1$と$C_2$が第一象限で接するとき，$a$の値を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$a$に対して，$C_1$と$C_2$と$L$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$a,\ b$を定数とし，$a \neq 0$とする．関数$f(x)=ax^2-4x+b$は，条件
\[ x^2f^{\prime\prime}(x)-xf^\prime(x)+f(x)=x^2+8 \]
を満たすとする．

(1)$a,\ b$の値を求めよ．
(2)直線$\ell$が，放物線$y=x^2$の接線であり，かつ放物線$y=f(x)$の接線でもあるとき，$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$2$つの放物線$y=x^2$と$y=f(x)$，および$(2)$で求めた接線$\ell$で囲まれた部分の面積を求めよ．

平面上の$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{P}$は互いに異なる点とする．三角形$\mathrm{OAB}$において
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=2,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=3 \]
かつ$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角が$60^\circ$とする．$\ell$は点$\mathrm{A}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$が法線ベクトルである直線，$m$は点$\mathrm{B}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$が法線ベクトルである直線とする．また，$\ell$と$m$は点$\mathrm{P}$で交わるとする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AP}}$であることを用いて，内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$を求めよ．
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$を求めよ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を満たす実数$s,\ t$の値を求めよ．

$s,\ t$を実数とする．行列$A=\left( \begin{array}{cc}
-\displaystyle\frac{1}{2} & -\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \\
s & t
\end{array} \right)$は逆行列$A^{-1}$をもち，$A^{-1}=A$であるとする．

(1)$s,\ t$の値を求めよ．
(2)行列$A$は直線$y=mx$（$m$は実数）に関する対称移動を表している．$m$の値を求めよ．

関数$f(x)=xe^{-2x}$に関して次の問に答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)曲線$y=f(x)$の概形をかけ．必要ならば，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}xe^{-2x}=0$を使ってよい．
(2)曲線$y=f(x)$の接線のうちで傾きが最小となるものを$\ell$とする．その接線$\ell$の方程式と接点$(a,\ f(a))$を求めよ．
(3)$x<a$において，接線$\ell$は曲線$y=f(x)$より常に上側にあることを証明せよ．ただし，$a$は(2)で求めたものとする．
(4)曲線$y=f(x)$，接線$\ell$，および$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

平面上に$\triangle \mathrm{OAB}$があり，その面積は$S$である．辺$\mathrm{AB}$を$t:1-t \ (0<t<1)$に内分する点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{OM}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{P}$，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$を通る直線と辺$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．次の各問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AM}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{OAQ}$の面積が$\displaystyle \frac{1}{10}S$のとき$t$の値を求めよ．

平面上に$\triangle \mathrm{OAB}$があり，その面積は$S$である．辺$\mathrm{AB}$を$t:1-t \ (0<t<1)$に内分する点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{OM}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{P}$，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$を通る直線と辺$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．以下の各問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{OAQ}$の面積が$\displaystyle \frac{1}{10}S$のとき，$t$の値を求めよ．