曲線$y=x^2$を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{A}(\alpha,\ \alpha^2) \ (\alpha<0)$における曲線$C$の接線を$\ell$とする．また，この接線$\ell$上の点$\mathrm{P}$から，曲線$C$に$\ell$とは異なる接線$m$をひく．ただし，点$\mathrm{P}$の$x$座標は$p$とし，$p>\alpha$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)接線$m$の曲線$C$との接点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$を通る直線が，直線$\ell$と垂直となるとき，点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$を(2)で求めたものとする．このとき，点$\mathrm{P}$を通り，$\triangle \mathrm{ABP}$の面積を$2$等分する直線の方程式を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$|x-2|+|x+3|<6$を満たす実数$x$の値の範囲を求めよ．
(2)$a_1=1,\ a_2=2,\ a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n=1$で定められる数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めよ．
(3)毎年$1$月の人口調査で，人口が前年の$98 \%$に減少していく都市がある．この都市の人口が，初めて今年の調査の$70 \%$以下になるのは何年後の調査のときか．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}7=0.8451$として，答えは整数で求めよ．
(4)直線$y=2x$と放物線$\displaystyle y=x^2+4x+\cos 2\theta+\frac{1}{2} \ (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$がある．放物線に直線が接するときの$\theta$の値を求めよ．

関数$f(x)=x^3-3a^2x-2a^2$を考える．ただし，$a>1$とする．

(1)関数$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．
(2)定数$k \ (k<0)$に対して，方程式$f(x)=k$が相異なる$2$つだけの実数解$x_1,\ x_2$をもつとする．このとき，$k,\ x_1,\ x_2$の値をそれぞれ求めよ．ただし，$x_1<x_2$とする．
(3)$x_1,\ x_2$を(2)で求めた値とするとき，$\mathrm{P}(x_1,\ f(x_1))$，$\mathrm{Q}(x_2,\ f(x_2))$，原点の$3$点を通る放物線を求めよ．
(4)$k$が(2)で求めた値をとるとき，(3)で求めた放物線と直線$y=k$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$s,\ t,\ u$を正の実数とする．点$\mathrm{O}$を内部に含む$\triangle \mathrm{ABC}$について，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とすると，$s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}+u \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$が成り立っている．直線$\mathrm{CO}$と線分$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{D}$とし，$\triangle \mathrm{BCO}$の面積を$S_A$，$\triangle \mathrm{CAO}$の面積を$S_B$，$\triangle \mathrm{ABO}$の面積を$S_C$とする．

(1)面積の比$S_A:S_B$は，線分の長さの比$\mathrm{BD}:\mathrm{AD}$に等しいことを示せ．
(2)比$\mathrm{BD}:\mathrm{AD}$を$s,\ t,\ u$を用いて表せ．
(3)比$S_A:S_B:S_C$を$s,\ t,\ u$を用いて表せ．

$xy$平面において，点$(-2,\ 0)$を中心とする半径$1$の円を$C_1$，点$(2,\ 0)$を中心とする半径$1$の円を$C_2$とする．直線$y=ax+b$を$\ell$とし，この直線$\ell$は，円$C_1$と円$C_2$の両方と共有点をもつものとする．

(1)$b=0$のとき，$a$のとりうる値の範囲を求めよ．また，$b=0$で$a$が求めた範囲を動くとき，直線$\ell$の通る領域を図示せよ．
(2)$a \geqq 0$のとき，$a,\ b$の満たす条件を求めよ．また，この条件を満たす点$(a,\ b)$の領域を$ab$平面上に図示せよ．

関数$\displaystyle f(x)=\log x+\frac{1}{x}$と曲線$C:y=f(x) \ (x>0)$について，以下の問いに答えよ．なお，必要ならば$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{\log x}{x}=0$を用いてもよい．

(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$と不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx$をそれぞれ求めよ．
(2)曲線$C$の変曲点を求めよ．
以下$a$は$1$より大きい実数とし，点$(a,\ f(a))$における$C$の接線を$\ell(a)$とする．
(3)接線$\ell(a)$の方程式を求めよ．また，$a \neq 2$のとき，曲線$C$と接線$\ell(a)$は$2$個の共有点（接点と交点）をもつことを示せ．
(4)$a=2$とする．曲線$C$，接線$\ell(2)$と$2$直線$x=1,\ x=4$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$|k|<1$または$k>1$を満たす実数$k$に対し，次の$2$次曲線$C(k)$を考える．
\[ C(k):\frac{x^2}{k+1}+\frac{y^2}{k-1}=1 \]
以下の問いに答えよ．

(1)点$(1,\ 1)$を通る曲線$C(k)$をすべて求めて，その概形をかけ．
(2)曲線$C(3)$が点$(a,\ b) \ (a>0,\ b>0)$を通るとき，$a$と$b$の間に成り立つ関係式を求めよ．またこのとき，点$(a,\ b)$を通る曲線$C(k) \ (k \neq 3)$の方程式を，$b$を用いて表し，その焦点を求めよ．
(3)(2)の$2$つの曲線$C(3)$，$C(k)$について，点$(a,\ b)$における$C(3)$，$C(k)$の接線をそれぞれ$\ell_1$，$\ell_2$とする．$\ell_1$と$\ell_2$のなす角度を求めよ．

$2$曲線$C_1:x^2+y^2=1$と$\displaystyle C_2:y=-\frac{\sqrt{3}}{3}(x-3)(x-\beta)$を考える．ただし，$\beta>3$とする．また，$C_1$上の点$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)$を通る$C_1$の接線$\ell$が$C_2$にも接しているとする．次の問いに答えよ．

(1)$\ell$と$C_2$の接点の座標および$\beta$の値を求めよ．
(2)$C_1$と$\ell$および$x$軸で囲まれた部分を$S_1$とし，$C_2$と$\ell$および$x$軸で囲まれた部分を$S_2$とする．このとき，$S_1$と$S_2$の面積をそれぞれ求めよ．

曲線$\displaystyle y=e^x+\frac{6}{e^x+1}$と直線$y=4$で囲まれた部分の面積を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

$x \geqq 2$とし，区間$-1 \leqq t \leqq 1$における$f(t)=4t^3-x^2t$の最大値を$M(x)$で表す．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$y=M(x)$のグラフの概形をかけ．
(2)曲線$y=M(x)$と$y$軸および$2$直線$\displaystyle y=\frac{8 \sqrt{3}}{9},\ y=10$で囲まれた部分の面積を求めよ．