三角形$\mathrm{OAB}$がある．点$\mathrm{O}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし，$\mathrm{M}$を通り辺$\mathrm{AB}$に垂直な直線と直線$\mathrm{OA}$との交点を$\mathrm{N}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とし，$|\overrightarrow{a}|=3$，$|\overrightarrow{b}|=2$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=p$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$p$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$p$を用いて表せ．
(3)$p \geqq 0$であるとき$\displaystyle \frac{\mathrm{ON}}{\mathrm{OA}}$の値の範囲を求めよ．
(4)点$\mathrm{N}$が線分$\mathrm{OA}$を$1:3$に内分するとき，三角形$\mathrm{OAB}$の面積$S$を求めよ．

図に示したように第$1$象限内に原点を頂点の一つとして有する \\
一辺の長さが$a$である正三角形$\mathrm{OAB}$がある．この図形に関す \\
る以下の問いに答えよ．ただし，線分$\mathrm{OA}$と$x$軸とのなす角を \\
$15^\circ$とする．また，三角関数を使用する場合，三角関数は数値 \\
化すること．
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(1)三角形$\mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
(2)三角形の二つの頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(3)直線$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$および$\mathrm{AB}$の方程式を求めよ．
(4)この三角形$\mathrm{OAB}$の内部にあり，三角形に内側で接する円の方程式を求めよ．また，この円の面積を求めよ．

曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x} \ (x>0)$を曲線$C$とする．曲線$C$と直線$y=mx$の交点を点$\mathrm{P}$，曲線$C$と直線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x$との交点を点$\mathrm{Q}$とする．ここで傾き$m$を$\displaystyle m>\frac{1}{2}$の実数とする．以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$における曲線$C$の接線$L$の方程式を求めよ．
(3)接線$L$と直線$y=mx$の交点の座標を，$m$を用いて表せ．
(4)原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}$，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{Q}$を結ぶ線分をそれぞれ$\mathrm{OP}$，$\mathrm{OQ}$とする．曲線$C$と$\mathrm{OP}$，$\mathrm{OQ}$で囲まれた部分の面積$A$を，$m$を用いて表せ．
(5)点$\mathrm{P}$および点$\mathrm{Q}$から$y$軸に垂直に引いたそれぞれの線分と，$y$軸および曲線$C$で囲まれた領域を$y$軸のまわりに$1$回転してできる体積を，$m$を用いて表せ．

関数$f(x)=x+2 \sin x$を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$y=f(x) \ (0 \leqq x \leqq 2\pi)$の増減を調べ，そのグラフをかけ．
(2)$0<x<2\pi$において関数$f(x)$が極値をとるときの$x$の値を$\alpha,\ \beta \ (0<\alpha<\beta<2\pi)$とする．曲線$y=f(x)$の$\alpha \leqq x \leqq \beta$の部分と$x$軸，および$2$直線$x=\alpha$，$x=\beta$で囲まれた部分を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$を満たす実数$t$に対して，$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}(1+2t,\ (1+t)\cos t+\sin t)$，$\mathrm{B}(-1,\ -(1+t)\cos t+\sin t)$を考える．$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell_t$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$\ell_t$の方程式を求めよ．
(2)$k$を定数とし，直線$\ell_t$と直線$x=k$との交点を$\mathrm{P}$とする．$t$が$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，点$\mathrm{P}$の$y$座標のとりうる値の範囲を$k$を用いて表せ．
(3)$t$が$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，直線$\ell_t$の通りうる領域を図示せよ．

$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$を満たす実数$t$に対して，$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}(1+2t,\ (1+t)\cos t+\sin t)$，$\mathrm{B}(-1,\ -(1+t)\cos t+\sin t)$を考える．$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell_t$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$\ell_t$の方程式を求めよ．
(2)$k$を定数とし，直線$\ell_t$と直線$x=k$との交点を$\mathrm{P}$とする．$t$が$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，点$\mathrm{P}$の$y$座標のとりうる値の範囲を$k$を用いて表せ．
(3)$t$が$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，直線$\ell_t$の通りうる領域を図示せよ．

直線$y=ax (a>0)$と$x$軸，および直線$x=1$で囲まれた部分を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を$V$とし，曲線$y=x+\sin x (0 \leqq x \leqq 2\pi)$と$x$軸，および直線$x=2\pi$で囲まれた部分を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を$W$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$V$を$a$を用いて表せ．
(2)$0<x \leqq 2\pi$において，$x+\sin x>0$であることを示せ．
(3)$W$の値を求めよ．
(4)$V=W$のとき，$a$の値を求めよ．

関数$f(x)=x+2 \sin x$を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$y=f(x) \ (0 \leqq x \leqq 2\pi)$の増減を調べ，そのグラフをかけ．
(2)$0<x<2\pi$において関数$f(x)$が極値をとるときの$x$の値を$\alpha,\ \beta \ (0<\alpha<\beta<2\pi)$とする．曲線$y=f(x)$の$\alpha \leqq x \leqq \beta$の部分と$x$軸，および$2$直線$x=\alpha$，$x=\beta$で囲まれた部分を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

同一直線上にない$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$がある．線分$\mathrm{OB}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{C}$，線分$\mathrm{AB}$を$s:(1-s) \ (0<s<1)$に内分する点を$\mathrm{D}$とし，線分$\mathrm{OD}$と線分$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{E}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$と$s$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{OAE}$と$\triangle \mathrm{OCE}$の面積が等しくなるような$s$の値を求めよ．

座標平面上の円$C:x^2+y^2=1$と点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$に対し，点$\mathrm{A}$を通る傾き$m \ (m>0)$の直線と円$C$との交点で，点$\mathrm{A}$とは異なる点を$\mathrm{P}$とする．また，点$\mathrm{P}$から$x$軸に下した垂線を$\mathrm{PQ}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$の座標を$m$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{APQ}$の面積を最大とする$m$の値を求めよ．